La serie de la convergencia/divergencia de

Question

Yo estaba tratando de demostrar que la siguiente pregunta. La parte a es intuitivo, pero no podía dar un claro argumento matemático. Para las partes b y c parece Que hay algo que no estoy viendo. Alguna ayuda ?

Si $\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}$ diverge, $a_{k}\geq 0$, e $% A_{n}=a_{1}+...+a_{n}$, entonces ,

(a) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{a_{n}}{1+a_{n}} $ diverge,

(b) $\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty }\frac{a_{k}}{A_{k}A_{k-1}}$ diverge, pero

(c) $\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty }\frac{a_{k}}{A_{k}^{\alpha }}$ converge para cada una de las $\alpha >2$.

Answer 1

(a) Si $(a_n)$ es divergente de la secuencia, a continuación, usted está hecho. Si $(a_n)$ es convergente secuencia, entonces es acotada. Deje $|a_n|<M$ algunos $M$ $\sum a_n/(1+a_n) >\frac{1}{M+1}\sum a_n$ por lo que el dado de la serie es divergente.

(b) $\displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{a_n}{A_nA_{n-1}}=\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{A_{n-1}}-\frac{1}{A_n}=\lim_{N\to\infty}\sum_{k=2}^N \frac{1}{A_{n-1}}-\frac{1}{A_n}=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{A_1}-\frac{1}{A_N}$

Creo que (b) es convergente (y que convergen en $a_1$.) La convergencia de (c) es fácilmente demostrado por la prueba de comparación. (Debido a que $A_k^{\alpha}\ge A_kA_{k-1}$ si $\alpha>2$.)

Answer 2

para b>

$\displaystyle \sum_{k=n+1}^{n+p }\frac{a_{k}}{A_{k}A_{k-1}}=\displaystyle \sum_{k=n+1}^{n+p }\frac{1}{A_{k-1}}-\frac{1}{A_{k}}=\frac{1}{A_n}-\frac{1}{A_{n+p}}< \frac{1}{A_n}$

el uso de cauchy criterios de la serie determinada en b> converge