Si compact simplemente se conecta el colector tiene el mismo racional homotopy grupos como $S^n$ o $\mathbb{C}P^n$, debe tener el mismo cohomology anillo?

Question

La pregunta que surgió al intentar acortar un artículo que estoy escribiendo en la sumisión-listo longitud.

Deje $M$ ser un equipo compacto simplemente se conecta el colector. Por defininition, la racional homotopy grupos de $M$ $\mathbb{Q}$- espacios vectoriales $\pi_i(M)\otimes \mathbb{Q}$. (Desde $\pi_i(M)$ es abelian para$i\geq 2$$\pi_1(M) = 0$, esta definición tiene sentido). Tales cosas son estudiados en racional homotopy teoría, pero estoy lejos de ser un experto. (Por lo tanto, realmente no puedo medir la dificultad de la misma.)

Aquí está mi pregunta:

Supongamos $M^n$ es un buen compacto simplemente se conecta el colector y que lo racional homotopy grupos de $M$ son de manera abstracta isomorfo a la racional homotopy grupos de $S^{n}$ o de $\mathbb{C}P^{n/2}$. Es el cohomology anillo de $H^\ast (M;\mathbb{Q})$ también de manera abstracta isomorfo a lo racional cohomology anillo de $S^n$ o $\mathbb{C}P^{n/2}$?

Una prueba estaría bien, pero también me gustaría realmente como una referencia.

Yo creo que es cierto porque si en lugar de trabajar de forma racional, trabajamos con regular homotopy grupos y $\mathbb{Z}$ coeficientes en cohomology, entonces mucho más es verdad - $M$ debe ser homotopy equivalentes a $S^n$ o $\mathbb{C}P^{n/2}$. (Puedo rellenar estos datos si alguien desea.)

Por el otro lado, es completamente posible que las homotopy grupos de dos, simplemente conectado a los colectores para que coincida y, sin embargo, para la racional cohomology anillos no isomorfos. (Por ejemplo, $\mathbb{C}P^2 \#\mathbb{C}P^2$$\mathbb{C}P^2 \# -\mathbb{C}P^2$). También, hay un montón de espacios (por ejemplo, el espacio homogéneo $SU(3)/SO(3)$) que tiene el mismo racional homotopy grupos como $S^n$, sin embargo, no es homotopy equivalente (pero el racional cohomology anillo está de acuerdo con eso de $S^n$ en todos los ejemplos que yo sepa.)

Gracias!

Answer 1

La respuesta es sí.

Vamos a empezar con $S^n$, $n$ ($n$ extraño del caso es mucho más sencillo). La idea es utilizar racional homotopy teoría. Tenemos $\pi_n\otimes\mathbb Q=\mathbb Q$, $\pi_{2n-1}\otimes\mathbb Q=\mathbb Q$, y el resto es $0$. El Sullivan modelo mínimo de su colector es lo $A=\mathbb Q[x,y]$ $\deg x=n$ y $\deg y=2n-1$ ($y$ tiene grado impar, por lo que es un anti-conmutativa variable; un mejor notación podría ser $\bigwedge(x,y)$). Como por el diferencial en $A$: $dx=0$, ya no hay nada no lineal de grado $n+1$$A$, e $dy=x^2$ (¿por qué? no podemos tener a $dy=0$: eso significaría $d=0$, por lo que el cohomology sería $A$, es decir, no-cero en forma arbitraria de grandes dimensiones. Por lo $dy=cx^2$ algunos $c\neq0$, y sólo hemos de redefinir $y$ a $y/c$). $A$ es, por tanto, plenamente determinado, y así es, pues, la racional cohomology de $M$, ya que es el cohomology de $A$.

Vamos a tratar de $\mathbb CP^n$. Su mínimo Sullivan modelo es $\bigwedge(x,y)$ con $\deg x=2$, $\deg y=2n+1$, y el diferencial es $dx=0$, $dy=x^{n+1}$. La pregunta ahora es si el mismo gradual de álgebra, pero con un diferente diferencial, puede ser la mínima Sullivan modelo de un colector. Pero $dx=0$ es necesario, ya que no hay nada de grado $3$, y de nuevo $dy=cx^{n+1}$ algunos $c$ y podemos comprobar $c\neq 0$ y redefinir $y$$y/c$. Por lo que el diferencial es la única posible, y así, de nuevo sí, la racional cohomology (incluso el racional homotopy tipo) debe ser el mismo.

Para la integridad: si $n$ es raro entonces que el modelo mínimo de $S^n$$\bigwedge(x)$$\deg x=n$$d=0$. No hay manera de cambiar la $d$ a algo distinto de cero.

Así, en el final: la razón es que no podemos cambiar el diferencial en el mínimo de los modelos de $S^n$ $\mathbb CP^n$ es una manera de que todavía podían ser mínima modelos de colectores.

Como referencias, puedo recomendar el libro "modelos Algebraicos en la geometría" como una introducción a la racional homotopy teoría. No sé como referencia para su pregunta (que es lo suficientemente simple como para que yo pudiera resolver).