He intentado usar aritmética modular con $\bmod9$. Sin embargo, he encontrado que no siempre ayuda. Parece que para la mayoría de los números, la paridad de la suma de sus dígitos es la misma que la paridad del número $\bmod9$. Pero esto no siempre es cierto. Por ejemplo: $19 = 1\mod9$, pero $1+9=10$ que es par. Si alguien pudiera explicar esto también, sería muy útil.
Entre $0$ y $9$ (inclusive), exactamente la mitad tiene la suma de dígitos par, y exactamente la mitad tiene la suma de dígitos impar. Lo mismo ocurre con $10$-$19$. Lo mismo ocurre con $20$-$29$. Y así sucesivamente. Por lo tanto, para números de $0$ a $9\,999$ (inclusive) hay igual cantidad de números con suma de dígitos par e impar.
Seleccionar un número de $0$ a $10^n-1$ significa elegir $n$ dígitos, donde se permiten los ceros iniciales. Los ceros iniciales no afectan la paridad de la suma de dígitos. Hay tantos ($5$) dígitos pares como impares, por lo que la cantidad de números con una suma de dígitos par/impar es $5^n$ veces el número de números binarios de longitud $n$ con una suma de dígitos par/impar, es decir, con un número par/impar de dígitos distintos de cero, que son los mismos, ya que hay tantos subconjuntos de $\{1,\ldots,n\}$ de tamaño par/impar, ver por ejemplo Suma alternante de coeficientes binomiales: dado $n \in \mathbb N$, demostrar que $\sum^n_{k=0}(-1)^k {n \choose k} = 0$.
Finalmente, omitimos el $0$ e incluimos $10^n$, por lo que hay $2$ números más con una suma de dígitos impar.
Si n es par, entonces uno de n y n+1 tiene una suma par de dígitos, y uno tiene una suma impar. Así que si un rango de números comienza con un número par y termina con un número impar, entonces hay igual cantidad de números con suma par y con suma impar de dígitos.
Si el primer número es impar, y/o el último número es par, entonces estos deben manejarse por separado. En este caso, el primer número 1 es impar y tiene suma impar de dígitos, el último número 10,000 es par y también tiene suma impar de dígitos, por lo que hay dos números más con suma impar que con suma par de dígitos del 1 al 10,000.
Esto se puede aplicar fácilmente a cualquier otro rango, por ejemplo los números del 1234 al 5678: El primero es par (ignorarlo), el último es par y 5678 tiene suma par de dígitos, por lo que hay un número más con suma par de dígitos.
Buena respuesta, si se enfocara en la paridad de la suma de los dígitos y omitiera la mención de la paridad del entero, que es irrelevante.
Bonita observación. Corresponde al mapa en esta respuesta a una pregunta relacionada que mencioné en mi respuesta: math.stackexchange.com/a/611771/43288
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No es sorprendente que mod 9 no ayude. Pista. Intenta comenzar con los números del 1 al 10. Luego piensa en los números del 11 al 100, en grupos de 10. Intenta generalizar.
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@EthanBolker ¿Por qué no es sorpresa?
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@JohnSmith Porque la noción de "par" o "impar" no existe en módulo $9$. Específicamente, tenemos, por ejemplo, que $10\equiv 1$.
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Porque al calcular módulo 9 obtienes la suma de los dígitos módulo 9, y saber un número módulo 9 no dice nada acerca de si es par o impar. Probablemente tu primera idea fue "probar módulo 9" porque conocías la prueba de divisibilidad para 9. Pero las primeras impresiones no siempre funcionan.
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Pensé en usar mod9 porque lo relacioné con la resolución de problemas de "sumas de dígitos", sí. Pero también probé el método de emparejamiento a continuación, y otros. Y soy consciente de que los primeros pensamientos no siempre funcionan.