Hace la observación de la vida en la Tierra para aumentar la probabilidad de vida en otros lugares?

Question

Decir que tengo un inverosímil gran saco de pelotas. Todo lo que sé es que las bolas están numeradas de forma aleatoria de $1$$n$. Por lo que sé, cualquier valor de $n$ (un número entero positivo) es igualmente probable.

Yo la mano en la bolsa y elegir una bola al azar. La pelota dice $42$. ¿Este cambio en todas las probabilidades de los valores de $n$ se utiliza para el número de bolas donde $n \geq 42$?

(Intuitivamente parecería $n$ es un bajo número de en que si $n$, eran muy, muy grandes (es decir $2^{42}$) parece inverosímil que nos iba a golpear en un número muy bajo de la primera bola en las muestras. Por otro lado, si $n$ es un número muy grande, $42$ es igual como cualquier pelota a emerger.)

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Otra versión simplificada podría ser donde las bolas son el azul o el rojo, pero no sé cuántos son de color azul o cuántos son de color rojo. La primera pelota que elija es azul. ¿Este aumento de la probabilidad de observar más las bolas de color azul en la tarde de muestras?

(De nuevo, si sólo hubiera una bola azul, intuitivamente parece poco probable que se elija en la primera muestra. Por otro lado, si sólo hubiera una bola azul, que la pelota es igual de probable que surjan como todo en la primera muestra.)

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Parece ser una pregunta que surge mucho. Como por ejemplo, en el argumento de que hay vida aquí en la Tierra, por lo que sería una improbable casualidad si no hay vida en otros lugares. Por supuesto, esto es una cuestión más compleja de lo que el color de las bolas, pero el empuje de este argumento parece ser probabilística, al igual que se reduce a la idea de que sabemos que hay una bola azul en la pequeña muestra que hemos visto, por lo que debe haber un montón de bolas de color azul en la inverosímil gran saco de explicar esto.

No estoy convencido de que este último argumento tiene sentido, pero por otro lado, no sé cómo razonar sobre el problema o ser de una forma o de otra, ya sea viendo una bola azul temprano afecta a la (relativa) probabilidad de que el número de bolas azules en la población. Por lo tanto, me pregunto, por ejemplo, si hay algún tipo de general teorema de la probabilidad de que habla acerca de esto?

Answer 1

Esta es una pregunta muy interesante. Sugiero el siguiente appoach utilizando el teorema de Bayes.

Supongamos que existen n de los planetas en total.

Definir $E_r$ = evento de que hay exactamente r planetas con vida(azul de los planetas). Usted puede comprobar fácilmente que los eventos son mutuamente exclusivos y exhaustivos.

A = evento de la observación de un planeta azul.

Vamos a calcular $P(E_r/ A)$= $\frac {P(E_r ).P(A/E_r)}{\sum P(E_i).P(A/E_i)}$

Assumig que el creador pintado de los planetas al azar, ¿cuál es la probabilty que r de ellos son de color azul?

Claramente su $P(E_r) = \frac{nCr}{2^n}$.

También se $P(A/E_r) = \frac{r}{n}$

SUbsituting,vamos a tener

$P(E_r/A)= \frac{(n-1)!}{(r-1)!.(n-r)!.2^{n-1}}$

Supongamos que n es relativamente pequeño, alrededor de un millón. Nota cómo despreciablemente pequeña la probabilidad de observar sólo un planeta azul (r=1) se convierte en.

Answer 2

Echemos un vistazo a su primer problema, el de las bolas numeradas.

Así, uno de los problemas de este problema es que no hay una distribución uniforme de todos los números naturales. Sin embargo, podemos considerar el caso en que $n$ es distribuido uniformemente en el rango de $1$$N$, y a ver si podemos hacer declaraciones al $N$ va al infinito.

Así que vamos a suponer que tenemos un saco con $1\le n\le N$ bolas numeradas, y cada valor de $n$ en el rango inicialmente es igualmente probable, esto es, tenemos un uniforme antes de $n$. Ahora sacamos al azar (que es, de nuevo con el uniforme de probabilidad) de una sola bola de la bolsa, y obtener 42. La pregunta es, ¿cuál es la distribución de probabilidad de $n$ después de sacar la pelota.

Según el teorema de Bayes, tenemos $$P(n=n_0|\text{42 dibujado}) = \frac{P(n=n_0)P(\text{42 dibujado}|n=n_0)}{\sum_k P(n=k)P(\text{42 dibujado}|n=k)}$$ Ahora $P(n=k) = \frac{1}{N}$ y $$P(\text{42 dibujado}|n=k)=\begin{cases} \frac{1}{k} & k\ge 42\\ 0 & k<42 \end{casos}$$ Por lo tanto, para $n_0\ge 42$ hemos $$P(n=n_0|\text{42 drawn}) = \frac{1}{n_0\sum_{k=42}^N\frac{1}{k}}$$ Tenga en cuenta que la suma del denominador es independiente de $n_0$ y, básicamente, sólo da la normalización constante, por lo que las probabilidades que se suman a $1$. Por lo tanto, la información relevante es: $$P(n=n_0|\text{42 drawn}) \propto \frac{1}{n_0}$$ Por lo tanto, los valores pequeños de a $n_0$ (con la restricción $n_0\ge 42$, por supuesto) son de hecho favorecido, pero sólo muy débilmente; en particular, las probabilidades de ir a cero, como se $N\to\infty$.

Vamos a calcular la expectativa de valor de $n$: $$\langle n\rangle = \sum_{n_0=1}^N n_0\,P(n=n_0|\text{42 drawn}) = \frac{N-41}{\sum_{k=42}^N\frac{1}{k}}$$ Debido a que el numerador crece linealmente, mientras que el denominador crece logarítmicamente, este se bifurca para $N\to\infty$. La información que obtenemos a partir de la sola bola por lo tanto, no es suficiente para cortar la expectativa de valor hacia abajo a un valor finito, aunque crece más lentamente con $N$ que en el estado de la probabilidad, donde crece linealmente con $N$.

Tenga en cuenta que si sacamos una segunda pelota, entonces las probabilidades debe ser $\sim \frac{1}{k^2}$, lo que da una serie convergente. Por lo tanto, el dibujo de dos bolas debe ser suficiente para forzar una probabilidad finita incluso en el límite de $N\to\infty$, y por lo tanto, probablemente también de un número finito de expectativa de valor (pero por el momento soy demasiado perezoso para calcular que, especialmente teniendo en cuenta que es ya muy pasada la medianoche y que debo ir a la cama).

Answer 3

Este artículo es acerca de los problemas de este tipo, se generaliza el tradicional método ad hoc donde usted asume el "Auto de Muestreo de la Asunción" (SSA: se debe a la razón como si uno fuera una muestra aleatoria del conjunto de todos los observadores en la clase de referencia) y el "Auto de la Indicación de la Asunción" (SIA: debemos tomar nuestra propia existencia como evidencia de que el número de observadores en nuestra clase de referencia es más probable que sea más pequeña). En caso de que el día del juicio final argumento, la SSA y SIA se cancelan exactamente, pero como el artículo señala que la invocación de la SSA y del SIA es un lugar ad hoc cosa que hacer, es mejor, simplemente, tener en cuenta toda la información disponible.

Answer 4

Antes me estaba tratando de abordar esto desde una perspectiva intuitiva así que quizás por que vale la pena publicar algunas ideas (como pensar en voz alta).

Viniendo de alguien que sabe poco acerca de la probabilidad y la teoría de la probabilidad, la única manera en que puedo ver a la razón acerca de este problema es pensar en una manera intuitiva acerca de simulaciones y solo contar los casos.

Tomemos el caso de azul y las bolas de color rojo, por ejemplo. Supongamos que tenemos $X$ bolas y que $B$ de las personas son de color azul. Para mantener esto tan general como sea posible, no sabemos el valor de $B$ (distinta de $B\geq 1$; dicho de otro modo, no tenemos idea de lo que "antes" la probabilidad de que una bola ha de ser azul) ni para $X$ (distinta de $X\geq B$).

Sin embargo, para el motivo de la discusión, vamos a corregir algunas arbitraria de gran valor para $X$. Así que, dado que $X$, ahora podemos tratar de ejecutar un gran número de simulaciones y contar cuántas veces, para los distintos valores de $b \leq X$, nos muestra una bola azul en la primera. Digamos que ejecute $s$ simulaciones para cada valor de $b$ ($s \gg X$), dibujo de un balón por primera vez y mantener un registro de cuántas veces es azul.

Como $s$ enfoques infinito para un valor dado de a $b$, el número de veces que se muestra en azul en la primera bola será igual a $\frac{b}{X}$. A través de todos los valores de $b$, obtenemos tendrá $sX$ simulaciones en total. El número de veces que una bola azul, se tomarán muestras del primero se $\frac{sX}{2}$.

Bueno, ahora asumimos que sabemos que una bola azul fue muestreado primera y miramos a nuestro $sX$ simulaciones para ver en qué proporción de las simulaciones que sucedió para los distintos valores de $b$.

Por lo tanto, si sabemos que una bola azul es muestreada en primer lugar, a continuación, $s$ de los casos se producen cuando $b=X$, $s-1$ de los casos al $b=X-1$ y, más en general, $s-n$ de los casos al $b=X-n$.

Puesto que estamos interesados en probabilidades, en vez de contar los casos, podemos ver las proporciones. En total, podemos ver que en la mitad de los casos, una bola azul es muestreada a primera. Para un valor dado de $b$, $\frac{1}{X}$ los casos se han de ejecutar para que valor (ya sea azul o no). La proporción de casos en los que la primera bola muestreada fue de color azul se $\frac{b}{X^2}$. Así, por ejemplo, dado que la primera bola muestreados es de color azul, que nos deja con $\frac{1}{2}$ de los casos, de los cuales, $\frac{1}{X}$ de los casos se explican por todas las pelotas de ser azul ($b=X$).

Esto no es tan satisfactorio, sin embargo desde siempre va de regreso a el valor de $X$. Pero podemos tratar de encontrar una manera de encontrar una conclusión general o un "invariante": vamos a probar a ver en términos de "probabilidad acumulativa" ¿en qué momento el 50% de los casos en los que el azul se dibuja en primer lugar están cubiertos. En otras palabras, estamos en busca de $\beta$ tal que $\Sigma_{b \leq \beta} \frac{b}{X^2} = \frac{1}{4}$. Podemos considerar $\beta$ como algo de un "punto de inflexión", es decir, que sabiendo que el azul fue muestreado en primer lugar, el valor de $b$ bajo $\beta$ $\beta$ son igualmente probables (donde se espera, por cierto, para estar en algún lugar por encima de $\frac{X}{2}$). De hecho, como $X$ enfoques $\infty$, el valor de $\beta$ converge a $\frac{X}{\sqrt{2}}$.

Así, por ejemplo, si $X=100000$, y sabemos que una bola azul se dibuja en primer lugar, esto nos dice que el $P(B>70711\mid \text{blue ball drawn first}) \approxeq 0.5$. También que la relación es fija como $\frac{X}{\sqrt{2}}$, por lo que da $X=10000$, $P(B>7071\mid \text{blue ball drawn first}) \approxeq 0.5$.

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Sin embargo, todo esto supone supongo que lo que uno llamaría un "uniforme" sobre los posibles valores que se $B$ podría tomar. Que le parece la más natural de las hipótesis a tomar cuando no se da la información, pero yo más bien tienden a pensar que es tan desconocido como el valor de $B$, y, por tanto, realmente, no hay información puede ser obtenida de saber que una bola azul se dibuja en primer lugar, a menos que uno asume que algo muy fuerte: que cualquier valor de $B$ es de alguna manera igualmente probables. Bajo ese supuesto, hay un 50/50 de probabilidades de que $\sim$70.7\% o más de las bolas son de color azul de acuerdo a la anterior línea de razonamiento.

Lo que tengo dificultad para bregar con el ahora – en un nivel más filosófico – es la forma en que medida es razonable asumir que, en ausencia de más información, que el valor de $B$ es igualmente probable. Es tentador asumir que esto incluso comenzar a progresar, pero igualmente parece ser algo que no conocemos y por lo tanto no se puede utilizar.

(Los comentarios son muy bienvenidos.)