Infinito de Fibonacci sumas $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{f_nf_{n+2}}$ - divergen o convergen

Question

Estoy pasando actualmente a través de los ejercicios con respecto a la convergencia/divergencia.

Para mi la pregunta anterior he utilizado la prueba de razón, y logró obtener a través de todo bien (creo). He demostrado que: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$$ converge, y ahora tengo que demostrar si es o no una función inversa de Fibonacci suma converge/bifurca y no estoy seguro de qué método usar. ¿Cuál es la mejor manera de abordar este problema?

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{f_nf_{n+2}}$$ Donde $f_n$ es la secuencia de Fibonacci, $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$ con los términos iniciales $f_1 = f_2 = 1$

Yo no creo que es similar a cómo terminé $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ pero quiero saber si estoy equivocado. Basado en mirar bastante similar preguntas en este sitio web he empezado tratando de usar la prueba por contradicción.

Answer 1

Aviso de $$\frac{1}{f_n f_{n+2}} = \frac{f_{n+1}}{f_nf_{n+1}f_{n+2}} =\frac{f_{n+2}-f_{n}}{f_n f_{n+1} f_{n+2}} = \frac{1}{f_nf_{n+1}}-\frac{1}{f_{n+1}f_{n+2}}$$ Se trata de una suma telescópica y

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{f_nf_{n+2}} = \lim_{p\to\infty} \sum_{n=1}^p \frac{1}{f_nf_{n+2}} = \lim_{p\to\infty}\left(\frac{1}{f_1f_2} - \frac{1}{f_{p+1}f_{p+2}}\right) = \frac{1}{f_1 f_2} = 1$$

Answer 2

Otro enfoque. El $n$ésimo número de Fibonacci es acerca de $\varphi^n$ donde $\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ es la media de oro. Entonces su suma se comporta como $\Sigma (1/\varphi^{2n})$. Es fácil demostrar que converge. Por supuesto que usted no consigue el valor de lo que se converge a, como en @achillehui 's agradable respuesta.

Answer 3

Pues es fácil ver que $f_n\geq n$ $n\geq5$ puede enlazado el (positivo) sumando $\frac1{f_nf_{n+2}}<\frac1{n^2}$$n\geq5$; por lo tanto desde $\sum_{n\geq1}\frac1{n^2}$ converge, lo hace $\sum_{n\geq1}\frac1{f_nf_{n+2}}$.