Limites al infinito de una función factorial: $\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{n/2}}$

Question

¿Cómo se puede resolver este límite hasta el infinito? He intentado con d'Alembert pero siempre obtengo la respuesta incorrecta.

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{n/2}}$$

Puede que tenga un problema al simplificar los números factoriales. Gracias de antemano.

Answer 1

Pista: utiliza la aproximación de Stirling: $$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$$

Answer 2

Pista:

Sin recurrir a la Fórmula de Stirling, podemos escribir

$$\begin{align} \frac{(2n)!}{(2n)^{n}}&=\frac{2n(2n-1)(2n-2)\cdots (2n-(n-1))\cdot n(n-1)\cdots 3\cdot2\cdot1}{\underbrace{(2n)\cdots (2n)}_{n\,\,\text{copias}}}\\\\ &=\left(1/2+\frac{1}{2n}\right)\left(1/2+\frac{2}{2n}\right)\cdots \left(1/2+\frac{n-1}{2n}\right)\,n!\\\\ &\ge \frac{n!}{2^n} \end{align}$$

Entonces, el problema se reduce a demostrar que $\lim_{n\to \infty}\frac{n!}{2^n}=\infty$.

Answer 3

Usando la Aproximación de Stirling

La Aproximación Asintótica de Stirling dice que $$ n!\sim\sqrt{2\pi n}\,\frac{n^n}{e^n}\tag{1} $$ Esto significa que la expresión en la pregunta es $$ \frac{n!}{n^{n/2}}\sim\sqrt{2\pi n}\,\,\frac{n^{n/2}}{e^n}\tag{2} $$ lo cual crece sin límite. Por lo tanto, $$ \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{n/2}}=\infty\tag{3} $$

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Otro Enfoque

Al cuadrar y escribir el factorial hacia adelante y hacia atrás, para $n\ge4$, obtenemos $$ \begin{align} \left(\frac{n!}{n^{n/2}}\right)^2 &=\overbrace{\frac{1(n-0)}{n}\frac{2(n-1)}{n}}^{\ge1}\overbrace{\frac{3(n-2)}{n}\cdots\frac{(n-2)3}{n}}^{\ge\left(\frac32\right)^{n-4}}\overbrace{\frac{(n-1)2}{n}\frac{(n-0)1}{n}}^{\ge1}\\ &\ge\left(\frac32\right)^{n-4} \end{align} $$ Cada producto en el numerador debajo de la llave central es $k(n-k+1)$. Dado que $k+(n-k+1)=n+1$ uno de los números debe ser mayor a $n/2$ mientras que ambos son mayores que $3$. Por lo tanto, debajo de la llave central, $\frac{k(n-k+1)}n\gt\frac32$. Para $n\ge2$, cada uno de los términos bajo las llaves exteriores es $\ge1$.

Answer 4

$$n!\geq\left (\frac{n}{4}\right )^{3n/4}\\\lim_{n\to\infty}\frac{\left (\frac{n}{4}\right )^{3n/4}}{n^{n/2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n/4}}{4^{3n/4}}=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{64}\right)^{n/4}=\infty$$ La desigualdad se da porque $4n!=1\cdots \underbrace{n\cdots 4n}_{3n}\geq \underbrace{n\cdots n}_{3n}=n^{3n}$

Answer 5

Considerar:

$$n! = \int_0^\infty t^ne^{-t}\, dt > \int_n^{2n}t^ne^{-t}\, dt > n\cdot n^n e^{-2n} \ge n^ne^{-2n}.$$

Dividiendo por $n^{n/2}$ tenemos

$$ n!/n^{n/2} > n^{n/2}e^{-2n} = \exp [(n/2)\ln n - 2n].$$

Dado que $(n/2)\ln n - 2n \to \infty,$ el límite deseado es $\infty.$