Cómo encontrar el período de $f$ si $f(x+13) + f(x+630) = 0$

Question

Dejemos que $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ sea una función periódica con periodo $T$ . La cuestión era encontrar el periodo (fundamental) dada la siguiente relación. $$ f(x+13) + f(x+630) = 0 $$

Ahora, el método dado es: $$\begin{align} &f(x+13) + f(x+630) = 0 \\ \implies &f((x+617)+13) + f((x+617)+630) = 0 \\ \implies &f(x+630) + f(x+1247) = 0 \\ \end{align}$$

Restando esta ecuación de la "original", tenemos: $$ f(x+1247) = f(x+13) $$

Por lo tanto, el período es $ 1234 $ .

Todo esto está bien. Sin embargo, mi duda es la siguiente: ¿Cómo sabemos que $1234$ es el fundamental y no cualquier periodo ?

Answer 1

Los factores primos de $1234$ son $2$ y $617$ . Desde $f(x+617)=-f(x)$ , $617$ no es un punto, y sólo tenemos que descartar $2$ . De hecho, me parece que $2$ podría sea el periodo fundamental de $f$ : sólo toma $f(x)=\sin\pi x$ (Y eso suponiendo que el periodo sea un número entero, que por supuesto no tiene por qué serlo).

Answer 2

No lo hacemos. También podríamos tener $1234=nT$ con algunos $n\in\mathbb N$ . Sin embargo, mientras $f$ no es la función cero, sabemos que $617$ es pas un múltiplo de $T$ pero eso sólo nos da que $n$ debe ser impar.