¿Notación alternativa para exponentes, logaritmos y raíces?

Question

Si tenemos

$$ x^y = z $$

entonces sabemos que

$$ \sqrt[y]{z} = x $$

y

$$ \log_x{z} = y .$$

Como una persona orientada visualmente, muchas veces me he sentido desanimado de que los símbolos para estos tres operadores no se parezcan en nada, a pesar de que todos nos dicen algo sobre la misma relación entre tres valores.

¿Alguien ha propuesto alguna vez una nueva notación que unifique la representación visual de exponentes, raíces y logaritmos para que la relación entre ellos sea más clara? Si no conoces una propuesta así, siéntete libre de responder con tu propia idea.

Esta pregunta es puramente por curiosidad y no tiene ningún propósito práctico, aunque creo (solo en mi humilde opinión) que una notación "unificada" haría que estos conceptos fueran más fáciles de enseñar.

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Answer 1

Siempre asumiendo $x>0$ y $z>0$, ¿qué tal:

$$\begin{align} x^y &={} \stackrel{y}{_x\triangle_{\phantom{z}}}&&\text{$x$ a la $y$}\\ \sqrt[y]{z} &={} \stackrel{y}{_\phantom{x}\triangle_{z}}&&\text{raíz $y$ de $z$}\\ \log_x(z)&={} \stackrel{}{_x\triangle_{z}}&&\text{logaritmo en base $x$ de $z} \end{align}$$

La ecuación $x^y=z$ es algo así como el triángulo completo $\stackrel{y}{_x\triangle_{z}}$. Si un vértice del triángulo queda en blanco, el valor neto de la expresión es el valor necesario para completar ese espacio en blanco. Esto tiene la ventaja de mostrar la relación ternaria entre los tres valores. Además, el flujo de izquierda a derecha concuerda con la forma en que se verbalizan estas expresiones en inglés. Sin embargo, parece que las identidades inversas son un poco incómodas:

$\log_x(x^y)=y$ se convierte en $\stackrel{}{_x\triangle_{\stackrel{y}{_x\triangle_{\phantom{z}}}}}=y$. (O podrías simplemente decir $\stackrel{}{_x\stackrel{y}{\triangle}_{\stackrel{y}{_x\triangle_{\phantom{z}}}}}$.)

$x^{\log_x(z)}=z$ se convierte en $\stackrel{\stackrel{}{_x\triangle_{z}}}{_x\triangle_{\phantom{z}}}=z$. (O podrías simplemente decir $\stackrel{\stackrel{}{_x\triangle_{z}}}{_x\triangle_{z}}$.)

$\sqrt[y]{x^y}=x$ se convierte en $\stackrel{y}{\triangle}_{\stackrel{y}{_x\triangle_{\phantom{z}}}}=x$. (O podrías simplemente decir $\stackrel{}{_x\stackrel{y}{\triangle}_{\stackrel{y}{_x\triangle_{\phantom{z}}}}}$ nuevamente.)

$(\sqrt[y]{z})^y=z$ se convierte en $_{\stackrel{y}{_\phantom{x}\triangle_{z}}}\hspace{-.25pc}\stackrel{y}{\triangle}=z. (O podrías simplemente decir $_{\stackrel{y}{_\phantom{x}\triangle_{z}}}\hspace{-.25pc}\stackrel{y}{\triangle}_z$.)

Teniendo $3$ variables, estaba seguro de que debía haber $3!$ identidades, pero al principio solo pude encontrar estas cuatro. Luego noté las similitudes en la estructura que tienen estas cuatro: en cada caso, el mayor $\triangle$ usa un vértice (digamos vértice A) para una variable simple. Un segundo vértice (digamos vértice B) tiene un $\triangle$ más pequeño con la misma variable simple en su vértice A. El $\triangle$ más pequeño deja el vértice B vacío y utiliza el vértice C.

Con esta construcción, quedan dos configuraciones que brindan dos identidades más:

$_{\stackrel{y}{_\phantom{x}\triangle_{z}}}\hspace{-.25pc}\stackrel{}{\triangle_z}=y establece que $\log_{\sqrt[y]{z}}(z)=y$.

$\stackrel{\stackrel{}{_x\triangle_{z}}}{_\phantom{x}\triangle_{z}}=x establece que $\sqrt[\log_x(z)]{z}=x$.

Estaba cuestionando la utilidad de esta notación hasta que me ayudó a escribir esas dos últimas identidades. Aquí hay algunas otras identidades:

$$\begin{align} \stackrel{a}{_x\triangle_{\phantom{z}}}\cdot\stackrel{b}{_x\triangle_{\phantom{z}}}&={}\stackrel{a+b}{_x\triangle_{\phantom{z}}}& \frac{\stackrel{a}{_x\triangle_{\phantom{z}}}}{\stackrel{b}{_x\triangle_{\phantom{z}}}}&={}\stackrel{a-b}{_x\triangle_{\phantom{z}}}& _{\stackrel{a}{_x\triangle_{\phantom{z}}}}\hspace{-.25pc}\stackrel{b}{\triangle} &={}\stackrel{ab}{_x\triangle_{\phantom{z}}}\\ \stackrel{}{_x\triangle_{ab}}&={}\stackrel{}{_x\triangle_{a}}+\stackrel{}{_x\triangle_{b}}& \stackrel{}{_x\triangle_{a/b}}&={}\stackrel{}{_x\triangle_{a}}-\stackrel{}{_x\triangle_{b}}&\stackrel{}{_x\triangle}_{\stackrel{b}{_a\triangle_{\phantom{z}}}}&=b\cdot\stackrel{}{_x\triangle}_{a} \\ \stackrel{-a}{_x\triangle_{\phantom{z}}}&=\frac{1}{\stackrel{a}{_x\triangle_{\phantom{z}}}}& \stackrel{1/y}{_x\triangle_{\phantom{z}}}&=\stackrel{y}{_\phantom{x}\triangle_{x}}& \stackrel{}{_x\triangle_{1/a}}&=-\mathord{\stackrel{}{_x\triangle_{a}}}\\ \stackrel{}{_a\triangle_{b}}\cdot\stackrel{}{_b\triangle_{c}}&=\stackrel{}{_a\triangle_{c}}& \stackrel{}{_a\triangle_{c}}&=\frac{\stackrel{}{_b\triangle_{c}}}{\stackrel{}{_b\triangle_{a}}}& \stackrel{\stackrel{-n}{_y\triangle_{\phantom{z}}}}{_x\triangle_{\phantom{z}}}&=\stackrel{\stackrel{n}{_y\triangle_{\phantom{z}}}}{_\phantom{x}\triangle_{x}}& \end{align}$$

Answer 2

Convertir un comentario en una respuesta (¡mi tercera para esta pregunta!), a petición. Creo que podría constituir mi mejor sugerencia.

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Considera $$b\stackrel{p}{\lrcorner}r$$ con $b$ como el base, $p$ como el exponente y $r$ como el resultado (por falta de una mejor palabra (ver más abajo)), con una filosofía de rellenar los espacios en blanco: lo que falta es lo que el símbolo representa.

$$\begin{align} b\stackrel{p}{\lrcorner} &\quad:=\quad \text{el resultado de la base $b$ con exponente $p$}&\text{(también conocido como "el $p$-ésimo poder de $b$")} \\ \stackrel{p}{\lrcorner}r &\quad:=\quad \text{la base que da como resultado $r$ con exponente $p$}&\text{(también conocido como "la raíz $p$-ésima de $r$")} \\ b\lrcorner{r} &\quad:=\quad\text{el exponente que produce $r$ con la base $b$}&\text{(también conocido como "el logaritmo base-$b$ de $r$")} \end{align}$$

Interesantemente, "$b \stackrel{p}{\lrcorner}$" se asemeja a "$b^p$"; podemos decir que la "$\lrcorner$" se "entiente". Además, "$\stackrel{p}{\lrcorner} r$" recuerda a "$\sqrt[p]{r}$". Incluso se podría decir que "$b \lrcorner r$" incorpora una "L" al revés (o volcada), para "logaritmo". :)

Es importante señalar que el símbolo señala a los componentes que crean el resultado (de nuevo, ver más abajo), y sirve como una buena ayuda visual: la parte plana apunta a la base; la parte hacia arriba apunta al exponente al que se eleva la base. Por lo tanto, creo que permitiría que el símbolo "$\lrcorner$" se invierta, si alguien lo necesitara: $$\stackrel{p}{\lrcorner} r \;\equiv\; r \stackrel{p}{\llcorner} \qquad\qquad b \lrcorner r \;\equiv\; r \llcorner b \qquad\qquad b\stackrel{p}{\lrcorner} \;\;\equiv\;\; \stackrel{p}{\llcorner}b$$

La capacidad de reordenar $b$ y $r$ podría ser útil, por ejemplo, si uno de los dos involucra una expresión especialmente complicada. De todos modos, el punto es que el símbolo -en cualquiera de sus orientaciones- aclara cuáles son los roles de los componentes.

(Para una flexibilidad óptima, podríamos hacer que el brazo "base" del símbolo sea visualmente distinto del brazo "exponente", por ejemplo, con una doble barra en esa dirección o algo así. (Una búsqueda rápida en la "Lista de Símbolos LaTeX Completa" no reveló nada que me gustara.) Entonces podrías orientar el símbolo y sus componentes adjuntos de la forma que desees.)

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Terminología. Como @alex.jordan señala en un comentario a mi comentario en su respuesta, "[mi] explicación está sesgada hacia la exponenciación sobre raíces y logaritmos". No estoy en desacuerdo, especialmente con mi uso de la palabra "resultado" para el componente $r$. Dicho esto, escribí "resultado" con la advertencia "por falta de un término mejor" porque... bueno... me faltaba un término mejor. Casi dos años después, todavía me falta. Quizás ahora es el momento de abordar el problema.

El Dr. Math del Math Forum argumenta que el resultado de una exponenciación se llama adecuadamente "potencia" ---piensa en "la tercera potencia de $4$ es 64"--- y que estamos jugando rápido y suelto con la terminología cuando usamos "potencia" y "exponente" de manera intercambiable. Bastante justo. (Por lo tanto, corregí mi prosa al convertirla de mi comentario anterior, y haré un esfuerzo consciente para ser más cuidadoso en el futuro.) Sin embargo, dado que sí tendemos a usar "potencia" y "exponente" de manera intercambiable, no puedo exactamente llamar a $r$ una "potencia" en relación con mi notación.

Pero, entonces, ¿qué?

En "$\sqrt[p]{r}=b$", el componente $r$ es el "radicando" $r$; en "$\log_b r = p$", es el "argumento". Este último es un argot genérico de función sin un significado específico en el contexto actual; el primero, en cambio, es hiper-específico, habiendo sido inventado con un propósito específico. Estos términos no nos ofrecen ninguna orientación. Notaré que "suma" y "producto" connotan el resultado de una suma o una multiplicación (¡a veces ambos! Ver la entrada de Jeff Miller sobre "Earliest Known Uses..." para "producto"). Tal vez podamos ocultar el sesgo desagradable de "resultado $r$" bajo alguna derivada latina profunda.

¿Alguna sugerencia?

Answer 3

Solo "pensando en voz alta" aquí ...

Si tomamos la notación en línea "$x$^$y$", y enfatizamos la noción de "^" como elevar a la potencia de $y$, entonces podríamos exagerar la flecha hacia arriba, de esta manera:

$$x\stackrel{y}{\wedge} \;\; = z$$

En ese caso, las raíces equivalen a reducir de la potencia de $y$:

$$z\stackrel{y}{\vee} \;\; = x$$

La naturaleza inversa de las operaciones entonces se vuelve clara, porque "elevar" y "reducir" se cancelan:

$$x\stackrel{y}{\wedge}\stackrel{y}{\vee} \;\; = x\stackrel{y}{\vee}\stackrel{y}{\wedge} \;\; =x$$

(Por supuesto, no se cancelan tan limpiamente cuando $x$ es negativo (o no real).)

Más generalmente, las reglas de composición son bastante directas:

$$x\stackrel{a}{\wedge} \stackrel{b}{\wedge} \;\; = x \stackrel{ab}{\wedge} \hspace{0.5in} x\stackrel{a}{\vee}\stackrel{b}{\vee} \;\; =x\stackrel{ab}{\vee}$$ $$x\stackrel{a}{\wedge} \stackrel{b}{\vee} \;\; = x \stackrel{a/b}{\wedge} \;\; = x\stackrel{b/a}{\vee}$$

y podemos observar propiedades como la conmutatividad de los "$\wedge$" y "$\vee" (una vez más con una advertencia adecuada para $x$ negativo (o no real)).

¿Es esta mejor que la notación estándar? Creo que hay un cierto atractivo visual aquí, pero dudo que la comunidad matemática esté inclinada a comenzar a incluir flechas gigantes hacia arriba debajo de sus exponentes; tampoco es probable que se adopten flechas hacia abajo cuando es más fácil escribir exponentes recíprocos. Pero tal vez haya algo en esto que pueda ayudar a los estudiantes a introducirse en el conocimiento de potencias y raíces.

Si nada más, la notación de "reducción" es reminiscente de la notación de raíz estándar $$\sqrt[y]z \hspace{0.5in} \leftrightarrow \hspace{0.5in} \stackrel{y}{\vee} \; \overline{z} \hspace{0.5in} \leftrightarrow \hspace{0.5in} z \stackrel{y}{\vee}$$

con el "$y$" posicionado dentro de una flecha que apunta hacia abajo, así que tal vez esto ayuda a satisfacer tu necesidad de una conexión visual en la notación estándar.

En cuanto a los logaritmos ... no tengo nada (¡por ahora!).

Answer 4

Son abreviaciones de lo siguiente

$$x^y = \exp(y \cdot \exp^{-1}(x)) = z$$

$$\sqrt[y]{z} = z^{\tfrac{1}{y}} = \exp(\tfrac{1}{y} \exp^{-1}(z)) = x$$

$$\log_x(z) = \frac{\exp^{-1}(z)}{\exp^{-1}(x)} = y$$

Aunque los dos primeros son uniformes, la notación de raíz cuadrada se utiliza para evitar escribir fracciones. Aparte de eso, la razón por la que las notaciones son diferentes es porque tienen sus propias leyes algebraicas (aunque se reflejan un poco, ya que son inversas).

Por cierto, la exponenciación probablemente se inventó primero para los números naturales, luego para los enteros, luego para fracciones antes de generalizarse a los números reales. Por esa razón, las notaciones llevan algo de "historia" que no siempre es algo bueno.

Answer 5

Si quieres usar un solo símbolo, podrías hacer algo así:

$x^y = z$

$x=z^{\frac{1}{y}}$

De manera que estás utilizando fracciones en ambos casos, sin invocar la notación de raíz. Cuando se trata de la tercera igualdad, estás empezando con $x^y = z$ y estás tratando de aislar $y$. La forma de hacerlo es tomando logaritmo en base x de ambos lados, esa es la función que te permite dejar $y$ solo y resolverlo. Si estás buscando una forma de hacer esto usando fracciones (como en los dos casos anteriores), que yo sepa no hay tal forma. si estás buscando un símbolo más "simple"/más adecuado para la función, puedes cambiar logaritmo por lo que desees.