Cómo probar $|\xi_{1}v_{1}+\xi_{2}v_{2}+\cdots+\xi_{n}v_{n}|\le 1$

Question

Pregunta:

Deje $n\ge 3\in N^{+}$ ser números impares, y $v_{1},v_{2},\cdots,v_{n}$ ser vectores en el plano, con longitudes iguales a $1$. Demostrar que no existe $\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n}\in\{-1,1\}$ tal que $$|\xi_{1}v_{1}+\xi_{2}v_{2}+\cdots+\xi_{n}v_{n}|\le 1$$

Me parece a mi problema muy similar a este rumano Mo 2001 problema 4: ver: enlace

Pero mi problema es difícil, y yo creo que es cierto. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Os muestro a continuación que la afirmación es verdadera para $n=3$.

Podemos escribir $v_k=(\cos(\theta_k),\sin(\theta_k))$$\theta_k\in {\mathbb R}$, para $k=1,2,3$. Podemos suponer sin pérdida de ese $\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$ y $\theta_3-\theta_1 \leq \pi$ (tenga en cuenta que $v_k$ puede ser reemplazado con $-v_k$, en otras palabras $\theta_k$ puede ser reemplazado con $\pi+\theta_k$). Entonces, la identidad

$$ \big|e^{i\theta_1}-e^{i\theta_2}+e^{i\theta_3}\big|^2= 1-4\cos\bigg(\frac{\theta_3-\theta_1}{2}\bigg)\Bigg( \cos\bigg(\frac{\theta_3-\theta_1}{2}\bigg)- \cos\bigg(\theta_2-\frac{\theta_1+\theta_3}{3}\bigg) \Bigg) $$

o, si se prefiere (gracias a WimC para señalar esto),

$$ \big|e^{i\theta_1}-e^{i\theta_2}+e^{i\theta_3}\big|^2= 1-8\cos\bigg(\frac{\theta_3-\theta_1}{2}\bigg) \sin\bigg(\frac{\theta_3-\theta_1}{2}\bigg)\sin\bigg(\frac{\theta_2-\theta_1}{2}\bigg) $$

muestra que $\big|\big|v_1-v_2+v_3\big|\big| \leq 1$.

Answer 2

Para la comodidad que volver a numerar los vectores $v_0, \ldots, v_{n-1}$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que todos los $\pm v_0, \dots, \pm v_{n-1}$ son diferentes, $v_0 = (1,0)$ y todos los demás $v_k$ tienen estrictamente positivo $y$-coordinar. Esta situación se verá a continuación.

Deje $n$ ser impar y $0=\theta_0< \theta_1<\ldots<\theta_n=\pi$. Extender esta secuencia mediante la toma de $\theta_{-k} = \theta_{n-k}-\pi$$k\in\{1,\dots, n\}$. Vamos $$v_k = (\cos \theta_k, \sin \theta_k) \in \mathbb{R}^2$$ for $k\in\{-n,\ldots,n\}$ and$$v=v_0-v_1+v_2-\ldots+v_{n-1}.$$ I claim that $|v|\leq 1.$ Note that $|v|\leq 1$ if and only if $|\langle w, v\rangle|\leq 1$ for all $w$ on the unit circle. Let $k\in\{0,\dots,n-1\}$, $\alpha \[\theta_k, \theta_{k+1})$ and $w = (\cos \alpha, \sin \alpha)$. Then $$\langle w, v_k \rangle > \langle w, v_{k-1} \rangle > \ldots > \langle w, v_{k-n+1} \rangle$$ and since $$ n es impar

$$(-1)^k\langle w, v \rangle = \langle w, v_k \rangle - \langle w, v_{k-1} \rangle + \ldots + \langle w, v_{k-n+1} \rangle$$

(alternancia de signos en el lado derecho). Con la estricta las desigualdades anteriores se deduce que

$$-1 \leq \langle w, v_{k-n+1} \rangle \leq (-1)^k\langle w, v \rangle \leq \langle w, v_k \rangle \leq 1$$ and so $|\langle \pm w, v \rangle| \leq 1$. Esto demuestra la reclamación.