Cómo encontrar que este $5xy\sqrt{(x^2+y^2)^3}$ puede escribir la suma de cuatro potencias 5-th de enteros positivos.

Question

Encontrar todos los enteros positivos $x,y$ tal $$5xy\sqrt{(x^2+y^2)^3}$$ puede escribir la suma de Cuatro 5-th potencias de números enteros positivos.En otras palabras: no exst $a,b,c,d\in N^{+}$ tal $$5xy\sqrt{(x^2+y^2)^3}=a^5+b^5+c^5+d^5$$

Este problema es de competencia de Matemáticas de la simulación de la prueba.Yo de búsqueda de este problema y encontré este problema de fondo es el de Euler, la suma de los poderes de la conjetura.puede ver enlace

tal vez este problema no es difícil.porque es de la competencia. desde $$5xy\sqrt{(x^2+y^2)^3}=5xy(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}$$ por lo $$x^2+y^2=m^2$$ $$x=3,y=4,m=5$$ y $$x=(a'^2-b'^2),y=2a'b',m=a'^2+b'^2$$ entonces yo no puedo Gracias por tu ayuda .

Answer 1

Algo que podría ayudar. Usando lo que usted ha dicho, a saber:

$x^2+y^2=k^2$, $x=m^2-n^2$, $y=2mn$ luego el lado izquierdo de la ecuación se convierte: $LHS=10(m^9n-mn^9+2m^7n^3-2m^3n^7)$

Desde $RHS\equiv 0$ modulo 2 y modulo 5 Luego tenemos $a+b+c+d\equiv 0 \mod{2}$ y $a+b+c+d\equiv 0 \mod{5}$