Supongamos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función continua, $g(x)=xf(x)-\int_0^xf(t)\ dt$, y tenemos $f(0)=0$ y $g(x)=O(x^2)$ $x\to0$.
¿Es cierto que $f(x)=O(x)$ $x\to0$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ya que la gente parece que se preocupan un poco, respondiendo a mí misma aquí, de manera positiva.
Primero de todo, es fácil ver que, $g$, existe sólo una $f$ que satisface la condición. Si hay dos de tales funciones, decir $f_1$$f_2$, e $\varphi(x)=\int_0^xf_1(t)-f_2(t)\ dt$,$x\varphi'(x)=\varphi(x)$, por lo tanto $\varphi(x)=Cx$, e $f_1-f_2$ es constante; y desde $f_1(0)=f_2(0)=0$,$f_1=f_2$.
Entonces tenemos que en cuenta que tales $f$ puede ser dado por la siguiente fórmula:
$$f(x)=\frac{g(x)}{x}+\int_0^x\frac{g(t)}{t^2}\ dt.$$
Aunque la forma más sencilla de obtener esta es integrar por partes en $f(x)=\int_0^x\frac{g'(t)}{t}\,dt$, esta fórmula también puede ser fácilmente verificado por no liso funciones directamente. También, la integral de Riemann es suficiente, ya que $g(t)/t^2$ es acotada y continua en casi todas partes.
Tener esta representación de $f$ en términos de $g$, podemos ver fácilmente que el $f(x)=O(x)$ .
