¿Función de partición como función característica de la energía?

Question

Estoy pasando por un libro en la mecánica estadística y allí se dice que la función de partición $$Z = \sum_{\mu_S} e^{-\beta H(\mu_S)}$$ donde $\mu_S$ denota un microestado del sistema y $H(\mu_S)$ el Hamiltoniano, es proporcional a la función característica $\hat p(\beta)$ de la energía de la función de distribución de probabilidad. Esto nos permite hacer el siguiente paso y a la conclusión de que $\ln Z$ es el cumulant de generación de función con el buen resultado que $$\langle H \rangle = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}$$ y $$\langle H - \langle H \rangle \rangle^2 = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial \beta^2}$$ pero no veo por qué $Z$ es proporcional a la función característica. También, si me imagino que $Z$ es la función característica de la energía, entonces no tengo que evaluar la derivada en $\beta = 0$?

Sé que las dos fórmulas anteriores también pueden obtenerse explícitamente hacer el cálculo mediante la definición de $Z$ en la primera línea, pero me gustaría generalizar este resultado para el momenta y cumulants de todos los pedidos.

Answer 1

En realidad no son proporcionales, creo que significaba algo más. La función de partición $Z(\beta)$ es la transformada de Laplace (LT) de la densidad de $g(E)$ de los estados de energía $E$, es decir, \begin{equation} Z(\beta)=\int_{0}^{\infty}e^{-\beta E}g(E)dE. \end{equation} La función de partición $Z$ desempeña el papel de una función característica y $g(E)$ el papel de la función de densidad de probabilidad (p.d.f.), que es la p.d.f. es $p(E)=\frac{g(E)}{\int g(E)dE}$.

Para ser más precisos, la función de partición $Z$ es una "probabilidad de generación de función", como es la característica de la función ($\varphi_{X}:=\langle e^{itX} \rangle$ y en este caso es la transformada de fourier de la p.d.f.), el momento de generación de la función $(M_{X}(t):=\langle e^{tX} \rangle)$ y el cumulant de generación de función.

La Probabilidad de generación de función se define como \begin{equation*} G(s)=\sum_{n=0}^{\infty}p_{n}s^{n} \end{ecuación*} donde $p_{n}$ es la probabilidad de masa y la serie es absolutamente convergente para $|s|\leq1$. Entonces \begin{equation*} Z(\beta)=G(e^{-\beta})=\sum_{E}^{\infty}p_{E}e^{-\beta E}. \end{ecuación*} Tenga en cuenta que esto puede ser generalizado a \begin{equation} Z_{H}(\beta)=\int e^{-\beta H(\vec{X})}d\mu(\vec{X}), \end{equation} donde la integral es sobre el espacio donde se $\vec{X}$ pertenece (generalmente fase-espacio) y $d\mu(\vec{X})$ es una medida en este espacio (generalmente de $d\mu(\vec{X})=g(\vec{X})d\vec{X}$). Es común el uso de la suposición de que la densidad es uniforme (microcanonical de conjunto).

Esta es una buena pregunta ya que estas probabilidad de generación de funciones aparecen en muchas áreas diferentes de la física estadística mecánica, el electromagnetismo, la teoría cuántica de campos y la mecánica cuántica. Todos con diferentes nombres pero con la misma estructura matemática que simplifica los cálculos de los momentos y las correlaciones.

Referencias: 1. http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_function_(matemáticas)

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function

Answer 2

Creo que la confusión es simple.

Que $\gamma$ sea el parámetro de transformación de la función generadora.

La función generadora es $G(\gamma) = <exp(-\gamma H)> \propto \sum_{\mu_S} e^{-(\beta+\gamma) H(\mu_S)}$ para la distribución de Gibbs.

Si tomamos $\gamma ->0$ obtenemos la función de partición.

Tomando el derivado w.r.t. $\gamma$ es equivalente a tomar derivados w.r.t $\beta$ para esta distribución particular, ya que sólo aparecen en la suma.

Answer 3

Si todavía es real para usted. La densidad de probabilidad $$ e^{-\beta f\left( \mu\right) } $$ es la llamada canónica (Gibbs) de distribución.Hay un montón de métodos de cómo para derivar de ella. Puedo reproducir la más simple.

Imaginemos que el sistema tiene la Hamiltoniana $H\left( \mu\right) $ y te gustaría estudiar para una temperatura determinada. Con el fin de ajustar la temperatura de poner su sistema en el interior de un termostato, de manera que su sistema de intercambios de energía sólo con la termostato, pero el volumen y el número de partículas es constante. Vamos supongamos que el termostato es un gran tanque lleno de un gas ideal, de modo que su energía: $$ h=\sum_{i=1}^{N}\frac{P_{i}^{2}}{2m}. $$ El total del sistema (el sistema+termostato) es aislado por lo tanto la energía total es fijo. Por lo tanto, la distribución con respecto al total de la energía es un delta-función: $$ \rho\left( E\right) =\Lambda\delta\left( h+Que\right) , $$ donde $\Lambda$ es una cierta normalización factor que $$ \int \rho\left( E\ \ derecho)\,d\Gamma =1,\qquad\left( 1\right) $$ donde $d\Gamma$ es un elemento de la totalidad del espacio de fase: $$ d\Gamma=d\mu\prod_{i=1}^{N}d^{3}P_{i}\,d^{3}Q_{i}. $$ Vamos a integrar a cabo todos los grados de libertad del termostato: $$ \rho\left( H\right) =\int\prod_{i=1}^{N}d^{3}P_{i}\,d^{3}Q_{i} \,\Lambda\delta\left( H+\sum_{i=1}^{N}\frac{P_{i}^{2}}{2m}-E\right) =\Lambda V^{N}\int\prod_{i=1}^{N}d^{3}P_{i}\,\,\delta\left( H+\sum_{i=1}^{N} \frac{P_{i}^{2}}{2m}-E\ \ derecho) , $$ donde $V$ es el volumen de termostato. La integración puede ser una medida de simplificado de la siguiente manera: $$ \int\left[\prod_{i=1}^{N}d^{3}P_{i}\right] f(\epsilon)=\frac{2\pi^{3N/2}}{\Gamma\left( 3N/2\right) }\int\left[\epsilon^{3N-1}d\epsilon\right] f(\epsilon), $$ donde $$ \epsilon^{2}=\sum_{i=1}^{N}P_{i}^{2}. $$ Así, la integración puede procederse de la siguiente manera: $$ \rho\left( H\right) =\Lambda V^{N}\frac{2\pi^{3N/2}}{\Gamma\left( 3N/2\right) }\int\,d\epsilon\,\epsilon^{3N-1}\,\delta\left( H+\frac {\epsilon^{2}}{2m}-E\right) =\Lambda V^{N}\frac{2m\pi^{3N/2}}{\Gamma\left( 3N/2\right) }\,\a la izquierda( E-H\right) ^{\frac{3N}{2}-1}. $$ Ahora vamos a considerar el $N\rightarrow\infty$ límite, así que $$ \frac{E}{N}\approx\frac{h}{N}=\frac{3T}{2}. $$ La distribución toma la forma: $$ \rho\left( H\right) \sim\left( 1-\frac{H}{E}\right) ^{3N-2}\approx\left( 1-\frac{H}{\frac{3N}{2}T}\right) ^{\frac{3N}{2}-1}\approx\exp\left( -\frac{H}{T}\right) . $$ La normalización factor puede ser encontrado a partir de la normalización de la condición (1). Finalmente, la densidad de probabilidad para la energía de tu sistema tiene la forma: $$ \rho\left( H\right) =\frac{e^{-\beta f\left( \mu\right) }}{Z},\quad Z=\int d\mu\,e^{-\beta f\left( \mu\right) }. $$ De hecho, el resultado es independiente de la naturaleza del termostato, ver, por ejemplo, L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Volumen 5 del Curso de Física Teórica, física Estadística Parte 1 Ch. III, La distribución de Gibbs.

Answer 4

La declaración es puramente matemático.

Deje $p(E)$ ser la función de distribución de probabilidad para la energía. La función característica de esta distribución se $\hat{p}(\beta) = \mathbb{E}[e^{i \beta E}] = \sum_E e^{i \beta E} p(E)$. Así que si la distribución es el de Gibbs de una $p(E) \propto e^{-\beta E}$, entonces podemos ver que $Z$ es proporcional a $\hat{p}$. El resto, a continuación, sigue el estándar de la teoría de la probabilidad.

Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)