Cálculo de las integrales de la forma $\exp(P(x))$, $P(x)$ un polinomio

Question

Wikipedia notas que

Exponenciales de otros, incluso polinomios puede ser fácilmente resuelto mediante series. Por ejemplo, la solución a la integral de la exponencial de un polinomio de cuarto grado es:

\begin{align} & \int_{-\infty}^{\infty} e^{a x^4+b x^3+c x^2+d x+f}\,dx \\ & {} \quad = \frac12 e^f \!\!\!\!\!\!\!\! \sum_{\begin{smallmatrix}n,m,p=0 \\ n+p=0 \mod 2\end{smallmatrix}}^{\infty} \!\!\!\! \frac{b^n}{n!} \frac{c^m}{m.} \frac{d^p}{p!} \frac{\Gamma(\frac{3n+2m+p+1}4)}{(-a)^{\frac{3n+2m+p+1}4}}. \end{align}

Sin embargo, Wikipedia no proporciona una citación. Podría alguien dar una referencia de dónde podría encontrar más información sobre la evaluación de tales integrales y la serie de los métodos mencionados en el artículo? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Suponga $a<0$. Tenemos

$$\int_{-\infty}^\infty e^{\large ax^4+bx^3+cx^2+dx+f}dx=e^f\int_{-\infty}^\infty\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(bx^3)^n}{n!}\right)\left(\sum_{m=0}^\infty\frac{(cx^2)^m}{m!}\right)\left(\sum_{p=0}^\infty \frac{(dx)^p}{p!}\right)e^{ax^4}dx $$

$$=\int_{-\infty}^\infty \sum_{n,m,p\ge0}^{n+m\equiv0(2)}\frac{b^nc^md^p}{n!m!p!}x^{3n+2m+p}e^{ax^4}dx $$

porque los poderes con $n+p\equiv1\bmod2$ contribuir impar funciones para el integrando, que desaparecen cuando se integran en la línea real. A partir de aquí, el intercambio de suma y de la integración, el uso de la sustitución de $u=x^4$, luego se dilatan por $-a$ adecuadamente...

(Así que, básicamente, las técnicas en juego aquí son: expansión de la serie, la auto-cancelación de la extraña funciones de intercambio de la limitación de las operaciones, y el poder/lineal sustituciones.)