$GL_n(\mathbb{F})$ contiene una copia de $\mathbb{F}^{n-1}$

Question

Es un hecho de la multiplicación de la matriz que $$\left( \begin{matrix} 1 & a & b \\&1&\\&&1 \end{de la matriz} \right) \left( \begin{matrix} 1 & a' & b'\\&1&\\&&1 \end{de la matriz} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & a +a'&b+b' \\&1&\\&&1 \end{de la matriz} \right). $$

Por lo tanto, $GL_n(\mathbb{F})$ contiene una copia de el grupo abelian $\mathbb{F}^{n-1}$. Podemos demostrar que lo que hace o no contener una copia de $\mathbb{F}^n$, o de cualquier poder superior?

Edit: Derek señala que, incluso $n$, $\frac {n^2}{4}$ y por extraño $n$, $\frac{n^2-1}{4}$ son posibles. Podemos demostrar que este es el valor más alto que es posible para todos los campos (aunque, por supuesto, para campos específicos superior puede ser posible)?

Answer 1

Hay una copia de $F^{(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor)^2}$ ${\rm GL}_n(F)$ % todo $n$: poner las entradas de la diagonal distinto de cero en una plaza en la esquina superior derecha de la matriz.

Creo que, al menos para los campos finitos, y posiblemente para ${\mathbb Q}$, esto es lo más grande posible para $n>3$.

Para algunos campos, como por ejemplo ${\mathbb R}$, los grupos aditivos de $F^n$ son isomorfos % todos $n>0$.