¿Es necesario que el modelo de la teoría sea un conjunto?

Question

Desde Teoría de los modelos artículo de wikipedia : "Una teoría es satisfacible si tiene un modelo $ M\models T$ es decir, una estructura (de la firma adecuada) que satisface todas las sentencias del conjunto $T$ ". En definición de estructura también se exige que se establezca el "contenedor de una estructura".

Como suponemos entonces, cada modelo tiene que estar dentro de algún conjunto-contenedor . Esto obviamente nos pone en serios problemas, ya que para la teoría de conjuntos, no existe un modelo de este tipo, e incluso quizás no pueda serlo. Una de las posibles explicaciones de por qué la teoría de conjuntos no puede cerrarse dentro del conjunto (lo que nos llevará a algunas paradojas bien conocidas) es la opinión de que " el proceso de formación de conjuntos no tiene fin ", por lo que tenemos una "estructura" que no puede cerrarse dentro de sí misma, lo que evidentemente está bastante bien.

Como sabemos que no toda teoría puede tener un modelo (véase la teoría de conjuntos) entonces surge alguna pregunta:

• ¿Cuáles son los motivos (aparte de los puramente prácticos - si se establecen sabemos cómo trabajar con ellos) de poner tan fuertes requisitos para ¿Modelo a establecer?

• ¿Hay alguna manera de debilitar este requisito?

• ¿Hay alguna "exploración" de posible extensión de la teoría de modelos con objetos fundamentales que no sean conjuntos?

Supongo que algún punto de vista categórico puede ser útil aquí, pero ¿hay alguno? Soy consciente de las preguntas realizadas anteriormente, especialmente aquí 8731 pero se preguntó en el contexto de la teoría de las categorías, que es, por supuesto, un punto de vista válido, pero de alguna manera demasiado fino. Me gustaría preguntar en general.

Y por último, pregunta filosófica: ¿está entonces justificado, que la condición para que una teoría tenga modelo en el universo de conjuntos sea algún tipo de antropomórfico punto de vista - sólo porque no podemos construir otras estructuras de manera efectiva construimos lo que es accesible para nosotros manera pero no tiene ningún significado objetivo ni universal? ¿Es cierto que la teoría de modelos es sólo un "álgebra+lógica universal" en el universo del conjunto, o sus justificaciones pueden extenderse a algún punto de vista más amplio? Si es así: ¿cuál?

Tengo la esperanza de que esta pregunta es lo suficientemente bueno para mathoverflow: por lo menos tratar de wit como solicite referencias.

---

Observación: Punto bien formulado de n-Debate en el Café de las Cataratas : "En el centro de la Teoría de Modelos hay " teorema fundamental de la existencia dice que el análisis sintáctico de una teoría [la existencia o inexistencia de una contradicción] es equivalente al análisis semántico de una teoría [la existencia o inexistencia de un modelo]."

De hecho, el punto más importante es: ¿puede extenderse a universos que no sean "contenedores de conjuntos"?

---

Me gustaría agradecer a todos los que han puesto aquí algún comentario o respuesta. Lo más interesante es que a la luz de la respuesta de Joel David Hamkins parece que para las teorías de primer orden (FOT) la consistencia es equivalente a tener un modelo de conjunto. No es trivial, porque no se trata de una definición arbitraria de "tener modelo", sino que está relacionada con constructivo prueba del Teorema de Completitud de Gödel. Desde el punto de vista ontológico se afirma entonces que para FOT no hay un tipo de consistencia más débil que la que surge de la teoría de modelos basada en conjuntos, y en cierto modo es la forma máxima de consistencia simultáneamente. Entonces no hay forma de extender la equivalencia de FOT a contenedores no-conjuntos, lo cual es una parte no trivial - las únicas teorías que son consistentes en FOT son aquellas que tienen un modelo de conjuntos y esta afirmación se demuestra no usando construcciones teóricas de conjuntos en formas no constructivas. Así que fue importante para mí, y aprendí mucho de esto, incluso si para los especialistas es de alguna manera obvia. Tengo la esperanza de que lo he entendido bien;-)

@Tran Chieu Minh: gracias por señalar una discusión interesante, trataré de entender el significado de sus observaciones aquí y allá.

Answer 1

Parece que crees que es de alguna manera contradictorio tener un modelo establecido de ZFC dentro de otro modelo de ZFC. Pero esta creencia es errónea.

Como señala correctamente Gerald Edgar, el Teorema de Completitud de la lógica de primer orden afirma que si una teoría es consistente (es decir, no demuestra ninguna contradicción), entonces tiene un modelo contable. Sin duda, la demostración del Teorema de Completitud es bastante constructiva, ya que el modelo se construye directamente a partir de los objetos sintácticos (constantes de Henkin) en un lenguaje expandido. Para reiterar, ya que has mencionado varias veces que encuentras algo problemático en ello:

• Teorema de integridad. (Goedel 1929) Si una teoría es consistente, entonces tiene un modelo que es un conjunto.

La inversa es mucho más fácil, así que de hecho sabemos que una teoría es consistente si y sólo si tiene un modelo de conjunto. Esta es la respuesta a su pregunta.

En términos más generales, si una teoría es consistente, entonces el teorema ascendente de Lowenheim-Skolem muestra que tiene modelos de cada cardinalidad mayor, todos los cuales son conjuntos. En particular, como el lenguaje de la teoría de conjuntos es contable, se deduce que si ZFC es consistente, entonces tiene modelos de cualquier cardinalidad (de conjuntos).

El corazón de tu confusión parece ser la creencia errónea de que de alguna manera no puede haber un modelo M de ZFC dentro de otra estructura V que satisfaga ZFC. Tal vez creas que si M es un modelo de ZFC, entonces debe estar cerrado bajo todas las operaciones de construcción de conjuntos que existen en V. Por ejemplo, considera un conjunto X dentro de M. Para que M satisfaga el axioma del conjunto de potencias, tal vez pienses que M debe tener el conjunto de potencias completo P(X). Pero esto no es así. Todo lo que se requiere es que M tenga un conjunto P, que contenga como miembros todos los subconjuntos de X que existen en M. Así, la versión de M del conjunto de potencias de X puede ser mucho más pequeña que el conjunto de potencias de X tal como se calcula en V. En otras palabras, el concepto de ser el conjunto de potencias de X no es absoluto entre M y V.

Diferentes modelos de la teoría de conjuntos pueden discrepar sobre el conjunto de potencias de un conjunto que tienen en común, y sobre muchas otras cosas, como si un conjunto dado es contable, si se cumple la Hipótesis del Continuo, etc. Algunos de los argumentos más interesantes de la teoría de conjuntos se basan en el análisis y el aprovechamiento de estos fenómenos de absolutez y no absolutez.

Tal vez su confusión sobre los modelos dentro de los modelos surge de la creencia de que si hay un modelo de ZFC dentro de otro modelo de ZFC, entonces esto significaría de alguna manera que hemos demostrado que ZFC es consistente. Pero esto tampoco es correcto. Tal vez algunos modelos de ZFC tienen modelos de ZFC dentro de ellos, y otros piensan que no hay ningún modelo de ZFC. Si ZFC es consistente, entonces este último tipo de modelos definitivamente existe.

• Teorema de Incompletitud. (Goedel 1931) Si una teoría (representable) T es consistente (y suficientemente fuerte para interpretar la aritmética básica), entonces T no demuestra la afirmación "T es consistente". Por lo tanto, existe un modelo de T que cree que T es inconsistente.

En particular, si ZFC es consistente, entonces habrá modelos M de ZFC que crean que no hay ningún modelo de ZFC. En el caso de que ZFC+Con(ZFC) sea consistente, entonces algunos modelos de ZFC tendrán modelos de ZFC dentro de ellos, y algunos creerán que no hay tales modelos.

Un último punto sutil, que dudo en mencionar porque puede ser confuso incluso para los expertos, es que es un teorema que cada El modelo M de ZFC tiene un objeto m dentro de él que M cree que es una estructura de primer orden en el lenguaje de la teoría de conjuntos, y si miramos a m desde fuera de M, y lo vemos como una estructura propia, entonces m es un modelo de ZFC completo. Esto fue observado recientemente por Brice Halmi, pero las observaciones relacionadas son bastante clásicas. La prueba es que si M es un ω-modelo, entonces tendrá la misma ZFC que nosotros en la metateoría y las mismas pruebas, y por tanto pensará que la ZFC es consistente (ya que nosotros lo hacemos), y por tanto tendrá un modelo. Si M no es un ω-modelo, entonces podemos mirar los fragmentos de la ZFC (no estándar) dentro de M que son verdaderos en algún V _α de M. Todo fragmento estándar es verdadero en algún conjunto de este tipo en M por el Teorema de la Reflexión. Por lo tanto, por exceso de difusión (ya que M no puede ver el corte estándar de su ω) debe haber algún V _α en M que satisface un fragmento no estándar de su ZFC. Tal modelo m = V _α M por lo tanto, satisfará todas las ZFC estándar. Pero M puede no considerarlo como un modelo de ZFC, ya que M tiene axiomas no estándar que cree que pueden fallar en m.

Answer 2

La razón fundamental por la que se requiere que los modelos en la teoría de modelos sean conjuntos es que para tales modelos $M$ existe la relación de satisfacción $M\models\phi[e]$ entre fórmulas $\phi$ y evaluaciones $e$ , obedeciendo a la definición de Tarski. Esto no es posible en general para los modelos de clase en ZFC (o NBG) -por ejemplo, la existencia de una relación de satisfacción para $(V,\in)$ implicaría la consistencia de ZFC, que no es demostrable en ZFC.

Hay otras razones para ceñirse a los modelos de conjuntos (por ejemplo, varias construcciones de modelos, en particular las que utilizan el teorema de la compacidad, tienden a no funcionar para las clases propias), pero ésta es la más importante. Por otra parte, en algunas partes de la teoría de modelos es conveniente trabajar dentro de un "modelo monstruoso" que puede ser una clase propia (al menos metafóricamente, es decir, lo suficientemente grande como para que se comporte como si fuera una clase propia para todos los argumentos en los que queremos emplearla), pero hay que tener cuidado cuando se trabaja en una configuración así.

Answer 3

La respuesta de Gerald es bastante correcta. Esto empezó como un comentario justificándolo, pero por razones de longitud lo dejo como respuesta.

Un modelo de ZFC es no una réplica perfecta de la categoría de conjuntos metida en un solo conjunto (de hecho, en la medida en que tal afirmación tiene algún sentido, no existe tal cosa). Se trata más bien de un conjunto $M$ junto con una relación binaria, $\in$ , tal que los axiomas de la teoría de conjuntos ZFC -es decir, una cierta familia de enunciados de primer orden en el lenguaje (contable) de los conjuntos- se cumplen en $(M,\in)$ .

Hay muchas cosas que un modelo así $M$ no le dirá nada sobre la categoría de los conjuntos. Sin embargo, suponiendo -como generalmente hacemos- que realmente existe una categoría de conjuntos que satisface cada uno de los axiomas de ZFC, entonces se deduce del Teorema de Completitud de Godel que debe tener un modelo $M$ como en el caso anterior. Este es un resultado no trivial. Además, como el lenguaje de conjuntos es contable, se deduce de Skolem-Lowenheim que existen modelos de ZFC de todas las cardinalidades infinitas.

Para ser justos, el propio Skolem consideró que esta consecuencia -la existencia de un modelo contable de la teoría de conjuntos- era de algún modo problemática ("La paradoja de Skolem"). Pero los teóricos de conjuntos y los lógicos modernos simplemente no piensan así: se han acostumbrado a la afirmación, que no es paradójica en el sentido lógico estricto (no hay contradicción), sino que simplemente suena extraña cuando se oye por primera vez.

De manera muy similar, la motivación de Tarski para la paradoja de Banach-Tarski era exhibir lo absurdo del Axioma de Elección (AC). Pero hoy en día el 99,9% de los matemáticos están contentos con el AC, y el estudio de las "descomposiciones paradójicas" es un subcampo floreciente de la teoría geométrica de grupos.

Como Joel David Hamkins me explicó anteriormente aquí en MO, podrías considerar modelos de clase-valor de una teoría y, dependiendo del gusto, a veces puede ser conveniente hacerlo. Pero, de nuevo, no es necesario hacerlo debido a la Completitud de Godel.

Answer 4

En algunos casos se toma como modelo una clase propia. Pero, de hecho, si una teoría (con un número finito de símbolos) es consistente, entonces tiene un modelo contable y, por tanto, un modelo que es un conjunto.

Answer 5

Creo que esta pregunta se ha rebajado demasiado rápido. Me parece que, además de la confusión señalada en los mensajes anteriores, hay algunos puntos válidos que deben abordarse.

Yo sólo pongo mi opinión. No creo que tenga suficientes conocimientos para justificarlos. Espero que esto dé más pábulo a la discusión.

1) No creo que tenga mucho sentido exigir que un modelo sea un conjunto en el sentido del concepto platónico de conjunto, es decir, exigir que $ a \in b$ significa $a$ es un elemento de $b$ en el sentido real. Una interpretación arbitraria de "es un elemento" funcionará. Creo que el requisito más importante aquí es el de "sistema cerrado", es decir, que las relaciones estén definidas en todas partes, que las funciones estén definidas en todas partes y que no te den un elemento externo. Así que ser un conjunto es una condición suficiente para capturar esta noción de "sistema cerrado" (en un sentido filosófico). Pero no es necesario.

2) Que señala alguna forma de debilitar el requisito.

3) No lo sé. Te he dado el enlace de mi pregunta anterior. Creo que Angus Macyntyre sugirió algo así. No he encontrado tiempo para sentarme y leerlos todos adecuadamente. Creo que al menos es posible un lenguaje de teoría de categorías, pero no sé si se puede extender a otro tipo de objetos o no.