Secuencia de funciones mensurables

Question

Si $h(x,t)$ es medible y las medidas que están involucrados $\sigma$-finito, no existen secuencias de funciones

$$h_n(x,t) = \sum_{j=1}^{N_n} f_{j,n}(x) 1_{F_{j,n}}(t)$$ cuando los conjuntos son disjuntos a pares (en $j$) tal que $h_n \to h$ pointwise en casi todas partes?

Sé que si nos fix$x$, se puede obtener una secuencia como eso, pero no podemos simplemente hacer que los coeficientes de la función en $x$ desde los conjuntos de $F_{j,n}$ será diferente. Puedo de alguna manera combinarlos? Necesito el $\sigma$-finitud?

Si la respuesta es positiva, podemos utilizar esto para probar la desigualdad de Minkowski para las integrales con bastante facilidad.

Answer 1

En contraste con William, creo que la respuesta es sí. Yo tenía que demostrar algo similar una vez; aquí es un adaptada argumento. Puede ser más complicado de lo necesario.

En primer lugar, reducir, para el caso de que $(\Omega_1, \mu_1), (\Omega_2, \mu_2)$ son finitos medir espacios y $h$ está acotada. Deje $\mathcal{P}$ ser el conjunto de todas las funciones en $\Omega_1 \times \Omega_2$ de la forma $F(x,y) = f(x) g(y)$ donde $f$ es limitada y medibles, $g$ es simple; tales funciones pueden ser escrita en la forma que usted busca. Deje $\mathcal{Q}$ ser lineal lapso de $\mathcal{P}$; estas funciones también puede ser escrita en la forma deseada. Deje $\mathcal{L}$ es el cierre de $\mathcal{Q}$ $L^1(\mu_1 \times \mu_2)$ y deje $\mathcal{L}_b$ ser el delimitadas las funciones de $\mathcal{L}$.

Ahora $\mathcal{L}_b$ es un espacio vectorial, que es cerrado bajo delimitada convergencia (por el teorema de convergencia dominada), contiene las constantes y contiene $\mathcal{P}$. $\mathcal{P}$ es cerrado bajo la multiplicación y contiene todas las funciones de la forma $1_{A \times B}$ con $A \subset \Omega_1$, $B \subset \Omega_2$ mensurables; la recogida de tales conjuntos de $A \times B$ genera el producto $\sigma$-álgebra. Por la versión funcional de la Dynkin $\pi$-$\lambda$ teorema (referencias más abajo), $\mathcal{L}_b$ contiene todos los acotado medible funciones; en particular, contiene $h$.

Desde $h$ $\mathcal{L}$ $L^1$ cierre de $\mathcal{Q}$, hay una secuencia $\mathcal{Q} \ni h_n \to h$$L^1$. A continuación, algunos de larga converge en casi todas partes.

Para el funcional $\pi$-$\lambda$ teorema de, véase Teorema 8.2 de Bruce del Conductor probabilidad de notas. Una referencia también a la C. Dellacherie, Capacités et processus stochastiques, página 14.

Answer 2

La respuesta es no. Estoy asumiendo que usted está tratando de probar lo siguiente:

Dado $\sigma$-finito medir los espacios de $\Omega_1, \Omega_2$, e $\Omega = \Omega_1\times\Omega_2$ lleva el producto a medir, entonces si $h: \Omega\rightarrow \mathbb{R}$ es una función medible, a continuación, $h$ es el punto de sabios aproximada en casi todas partes por la secuencia de $h_n$ da por:

$$h_n(x,t) = \sum_{j=1}^{N_n}f_{j,n}(x)1_{F_{j,n}}(t)$$

Bueno, en general este no es el caso, ya que los conjuntos de $F_{j,n}$ dependen generalmente de $x$. Si $\Omega_1$ es contable, la situación no es tan malo: la familia de conjuntos de $\{F_{j,n}(x): x\in \Omega_1\}$ es contable. En general, sin embargo, la situación es desesperada. Creo que el uso de $\Omega_1 = \Omega_2 = \mathbb{R}_{\geq 0}$$h(x,t) = x^2 + e^t$, o algo a ese efecto, debe hacer como un contra ejemplo. Jugar con él.