Dejemos que $B$ sea una variedad lisa proyectiva conexa sobre $\mathbb C$ . Dejemos que $\sigma:B\to B$ sea un endomorfismo de grado uno.
¿Entiendo correctamente que $\sigma$ es un automorfismo?
Creo que esto debería desprenderse del teorema principal de Zariski, pensé que no estaría de más asegurarme preguntando aquí.
En términos más generales, ¿qué tipo de suposiciones necesitamos realmente sobre $B$ para concluir que todo endomorfismo de grado uno es un automorfismo?
Sí, lo que quieres es cierto, más o menos por ZMT como dices. Aquí hay un argumento.
Primero, $\sigma$ es sobreyectiva, ya que es dominante y $B$ es proyectiva e irreducible.
Por ZMT, $\sigma$ tiene fibras conectadas, por lo que si no es un isomorfismo, debe contraer una curva. Pero ahora si $f: X \rightarrow Y$ es un mapa suryectivo de variedades propias suaves, con fibras conectadas, y $f$ contrae una curva, entonces el número de Picard baja: $\rho(Y) < \rho(X)$ . Así que si $Y$ y $X$ son la misma variedad, obtenemos una contradicción.
El mismo argumento funciona siempre y cuando sea $B$ es sólo $\mathbf{Q}$ -factorial (incluyendo normal e irreducible) en lugar de suave. (Aunque como señala QiL'8, esta suposición sigue siendo mucho más fuerte de lo necesario).
Esto es cierto para cualquier variedad algebraica normal irreducible $B$ sobre cualquier campo $k$ . Una prueba (bastante fácil) utilizando grupos de Grothendieck de variedades sobre $k$ se puede encontrar en el § 4, Corolario 8 de este documento .
Unas palabras sobre la prueba. Supongamos que $f$ no es finito. Entonces, por ZMT, existe un subconjunto cerrado adecuado $F$ de $B$ tal que $f^{-1}(B\setminus F)\to B\setminus F$ es un isomorfismo, y $f^{-1}(F)\to F$ tiene fibras conectadas de dimensión positiva. En particular, $$\dim f^{-1}(F)>\dim F.$$ Ahora en el anillo de Grothendieck $K_0(Var_k)$ de variedades algebraicas (= esquemas de tipo finito) sobre $k$ tenemos $$[f^{-1}(F)]=[B]-[B\setminus f^{-1}(F)]=[B]-[B\setminus F]=[F].$$ Pero en el artículo vinculado, se demuestra que la dimensión de una variedad está determinada por su clase en $K_0(Var_k)$ . Contradicción.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
