No es de extrañar que la suma es finita, ya que los números sin un 7 (o cualquier otro dígito) obtener más raro y más raro como el número de dígitos aumenta.
He aquí una prueba.
Deje de $S$ ser la serie armónica con todos los términos cuyo denominador contiene el dígito de $k$ quitado. Podemos escribir $S =S_1 + S_2 + S_3 + \ldots$, donde $S_i$ es la suma de todos los términos cuyo denominador contiene exactamente $i$ dígitos, todos diferentes de $k$.
Ahora, la cantidad de $i$de dígitos que no contienen los dígitos $k$ es $8\cdot9^{i-1}$ (hay $8$ opciones para el primer dígito, excluyendo $0$ y $k$, y $9$ opciones para los otros dígitos). [Bueno, si $k=0$ hay $9$ opciones para el primer dígito, pero la prueba de que todavía funciona.] Así que hay $8\cdot9^{i-1}$ números en la suma de $S_i$.
Ahora cada número en $S_i$ es de la forma $\frac1a$, donde $a$ es un $i$-número de dígitos. Por lo que $a \geq 10^{i-1}$, lo cual implica que $\frac1a \leq \frac1{10^{i-1}}$.
Por lo tanto $S_i \leq 8\cdot\dfrac{9^{i-1} }{10^{i-1}} = 8\cdot\left(\frac9{10}\right)^{i-1}$.
Así $S= \sum S_i \leq \sum 8\cdot\left(\frac9{10}\right)^{i-1}$
que es una serie geométrica de razón de $\frac9{10} < 1$, que converge. Desde $S$ es positiva serie acotada arriba por la convergencia de la serie, $S$ converge.
