¿Existe un teorema que dice que $\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$ converge en distribución a una normal como $n$ va al infinito?

Question

Deje $X$ ser cualquier distribución definidos decir, $\mu$, y la desviación estándar, $\sigma$. El teorema del límite central dice que $$ \sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma} $$ converge en distribución a una distribución normal estándar. Si reemplazamos $\sigma$ por la desviación estándar de la muestra $S$, hay un teorema que indica que $$ \sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S} $$ converge en distribución a una distribución t? Puesto que para la gran $n$ una distribución t se aproxima a una normal, el teorema, si existe, se puede afirmar que el límite de una distribución normal estándar. Por lo tanto, me parece que el t-distribuciones que no son muy útiles - que sólo son útiles cuando se $X$ es aproximadamente normal. Es este el caso?

Si es posible, habría que indicar las referencias que contiene una prueba de este CLT al $\sigma$ es reemplazar por $S$? Dicha referencia puede usar preferentemente teoría de la medida de los conceptos. Pero nada sería genial para mí en este momento.

Answer 1

Para elaborar @cardenal 's comentario, considere la posibilidad de un yo.yo.d. ejemplo de tamaño de $n$ a partir de una variable aleatoria $X$ con algunos de distribución, y finito momentos, la media de $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$. Definir la variable aleatoria

$$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$$ El basic Teorema del Límite Central dice que $$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$$

Considere la variable aleatoria $Y_n = \frac 1{S_n}$ donde $S_n$ es la desviación estándar de la muestra de $X$.

La muestra se yo.yo.d y para muestra momentos de la estimación consistente de la población momentos. Así

$$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma} $$

Escriba @cardenal: del teorema de Slutsky (o lema) dice, entre otras cosas, que $$ \{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$$ donde $c$ es una constante. Este es nuestro caso, así

$$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$$

Como por la utilidad de Estudiante de distribución, sólo digo que, en sus "usos tradicionales" relacionados con las pruebas estadísticas que todavía es indispensable cuando los tamaños de las muestras son muy pequeñas (y que aún nos enfrentamos con este tipo de casos), pero también, que se ha aplicado ampliamente para el modelo autorregresivo de la serie con (condicional) heterocedasticidad, especialmente en el contexto de la Financiación de la Econometría, cuando dichos datos surgen con frecuencia.