¿Debilitando el criterio de Carathéodory?

Question

Suponga que $E$ tiene medida externa finita. Muestre que $E$ es medible si y solo si para cada intervalo abierto y acotado $(a, b)$, $$b-a = m^*\big((a,b)\cap E\big) + m^*\big((a,b)/E\big)$$

Este es un ejercicio en la página 43 de Análisis Real, H.L.Royden et al (4ta edición). La parte del "solo si" es obvia, pero no tengo absolutamente ninguna idea de cómo mostrar la otra dirección.

Answer 1

Sea $A$ un subconjunto arbitrario de $\mathbb{R}$. Es suficiente demostrar que $$m^*(A\cap E)+m^*(A\setminus E)\leq m^*(A)\, . $$

Sea $(I_k)_{k\in\mathbb{N}}$ una secuencia de intervalos acotados que cubre $A$. Por la suposición sobre $E$, podemos escribir $$\sum_{k\in\mathbb{N}} \vert I_k\vert =\sum_{k\in\mathbb{N}} m^*(I_k\cap E)+\sum_{k\in\mathbb{N}} m^*(I_k\setminus E)$$

Además, como $m^*$ es una medida externa y $\bigcup_k I_k\supset A$, también tenemos $$\sum_{k\in\mathbb{N}} m^*(I_k\cap E)\geq m^*\left(\bigcup_{k\in\mathbb{N}} I_k\cap E \right)\geq m^*(A\cap E)\, $$ y de manera similar $\sum\limits_{k\in\mathbb{N}} m^*(I_k\setminus E)\geq m^*(A\setminus E) $. Se sigue que $$\sum_{k\in\mathbb{N}}\vert I_k\vert\geq m^*(A\cap E)+m^*(A\setminus E)$$ para cualquier secuencia de intervalos acotados que cubra $A$, lo cual nos da el resultado.

Answer 2

¿Es suficiente lo siguiente? (Si no lo es: ¡dame una idea)!!

Supongamos que $E$ no es un conjunto medible.

$∀ε>0$ Si existe un intervalo abierto $(c,d)$ tal que $E⊂(c,d)$ con $ m^*((c,d) )

Entonces $m^*((c,d)$~$E)= m^*((c,d) )- m^*(E) $(dado)$ < m^*(E) + ε - m^*(E) < ε$

Así que $m^*((c,d)$~$E) < ε$ y eso es equivalente a la medibilidad de $E$ $(contradicción)$

Por lo tanto, $E$ es medible.