Ecuación de onda, métodos de energía.

Question

Estoy leyendo el libro de Evans, Ecuaciones diferenciales Parciales ... la ecuación de onda de la sección 2.4; el inciso 2.4.3: la Energía de los métodos. Llegar al teorema:

Teorema 5 (Unicidad para la ecuación de onda). Existe en más de una función en $u \in C^{2}(\overline{U}_{T})$ problemas

$u_{tt} -\Delta u=f $ $ U_{T}$

$u=g $ $ \Gamma_{T}$

$u_{t}=h$ $U \times \{t=0\}.$

Prueba. Si $\tilde{u}$ es otro ejemplo de la solución, entonces la $ w:=u-\tilde{u}$ soluciona

$w_{tt} -\Delta w=0 $ $ U_{T}$

$w=0 $ $ \Gamma_{T}$

$w_{t}=0$ $U \times \{t=0\}.$

Definir la "energía"

$e(t):=\frac{1}{2} \int_{U} w^{2}_{t}(x,t)+ \mid Dw(x,t)\mid ^{2} dx (0\leq t \leq T).$

Calculamos

$\dot{e}(t)=\int_{U} w_{t}w_{tt}+ Dw \cdot Dw_{t}dx (\cdot = \frac{d}{dt})$

$=\int_{U}w_{t}(w_{tt} - \Delta w)dx=0$.

No hay límite de plazo desde $w=0$, y, por tanto,$w_{t}=0$,$\partial U \times [0,T].$, con Lo que para todos los $0\leq t \leq T, e(t)= e(0)=0$, y por lo $w_{t}, Dw \equiv 0$ dentro $U_{T}$. Desde $w \equiv 0$$ U \times \{t=0\}$, llegamos a la conclusión de $w=u-\tilde {u}\equiv 0$$U_{T}$.

Tengo dos preguntas:

1) ¿Cuál es la motivación para la definición de $e(t)$

2)$\int_{U} w_{t}w_{tt}+ Dw \cdot Dw_{t}dx $

$=\int_{U}w_{t}(w_{tt} - \Delta w)dx$. Cómo justificar esta igualdad?

Les agradezco mucho.

Answer 1

Comentarios de Yimin, más o menos:

2) integrar por partes. Consulte el Apéndice C, Teorema 3, parte (ii) en Evans. Tenga en cuenta que el término límite desaparece debido a las suposiciones.

1) energía, PDE, a menudo significa (la integral) una cantidad puede minimizar con el fin de resolver la ecuación en cuestión, me refiero a que la función que minimiza la energía también soluciona el PDE. A menudo corresponde a la energía como se utiliza en la física.