Problema de perspectiva - trapecio convertido en cuadrado

Question

Verdadero o falso: Si dibujas un trapecio en el suelo, siempre existe un punto por encima (pero no necesariamente directamente por encima) del trapecio tal que el trapecio parece un cuadrado desde ese punto.

Intuitivamente me parece que esto es cierto, pero no estoy seguro de cómo se puede probar o refutar esto. ¿Existe un método fácil de entender para demostrar o refutar la afirmación anterior?

(Con "parece un cuadrado" me refiero a que si tomas una fotografía del trapecio desde ese punto, las cuatro esquinas del trapecio forman un cuadrado en la fotografía 2D)

Answer 1

Esto es posible para cualquier estrictamente convexo cuadrilátero. En otra respuesta , calculo un $2{-}\mathrm{D}$ à $2{-}\mathrm{D}$ mapa en perspectiva que mapea cualquier $4$ apunta a cualquier otro $4$ puntos. Este mapa en perspectiva proyecta esencialmente $4$ puntos de un plano a otro plano proyectando desde un punto de vista determinado.

La convexidad estricta asegura que ningún punto del cuadrado tenga que ser proyectado virtualmente desde detrás del punto de vista sobre el plano del cuadrilátero. Por ejemplo, si $1$ o $3$ puntos del cuadrado se proyectan virtualmente, el cuadrilátero será cóncavo; si $2$ los puntos del cuadrado se proyectan virtualmente, dos lados del cuadrilátero se cruzarán.

Editar: En el caso de la proyección virtual, he dicho que el cuadrilátero será convexo o que dos de sus lados se cruzarán. Eso sería si las esquinas estuvieran mapeadas y conectadas en orden. Si los lados se proyectaran, en realidad se dispararían al infinito, ya que los lados del cuadrado cruzan el horizonte de origen (el plano paralelo al plano de proyección, pero que pasa por el punto de vista).

Answer 2

Creo que es falso, al menos no para todos los trapecios. Sin pérdida de generalidad, consideremos el caso del trapecio rectángulo, con un ángulo en el origen. Sea OABC un trapecio, donde A está en el eje y y C está en el eje x. Supongamos que O=(0,0,0), A=(0,a,0), B=(b,a,0), C=(c,0,0). Sea P(x,y,z) el punto del observador. Básicamente queremos, PO=PA=PB=PC para que parezca un cuadrado. Es decir, $x^2+y^2+z^2=x^2+(y-a)^2+z^2=(x-b)^2+(y-a)^2+z^2=(x-c)^2+y^2+z^2$

que nos da

$y^2=(y-a)^2$

$x^2=(x-b)^2$

$x^2=(x-c)^2$

y

$x=\frac{b}{2}=\frac{c}{2}$

que puede no ser coherente.