El Problema:
Deje $X, Y, Z$ se establece y $f: X \to Y, g:Y \to Z$ funciones.
(a) Mostrar que si $g \circ f$ es inyectiva, entonces también lo es $f$.
(b) Si $g \circ f$ es surjective, debe $g$ ser surjective?
Donde Estoy:
Así que, realmente tengo problemas con estos, por alguna razón. Puedo sacar fotos y hacer sentido de los problemas, pero la escritura de pruebas es muy difícil para mí.
Básicamente, para (a), terminé con algunos complicado declaración que implican una insinuación de lo que implica otra implicación y luego trató de derivar una contradicción. Simplemente se quedó tan intrincado que no podía hacer sentido de ella ya, y sé que hay una forma rápida, elegante manera de demostrarlo.
Para (b), sé que $g$ no necesita ser surjective. Una vez más, sin embargo, la prueba directamente a partir de las definiciones que me ha dado un poco de un dolor de cabeza.
Cualquier ayuda se agradece. Gracias de antemano.
Las Pruebas!
Ok, yo lo hice. Gracias por la ayuda, todo el mundo! Quiero saber si hay algo malo con estas pruebas, o si se podría apostar cualquier mejor.
(a) Supongamos $f$ no es inyectiva. Entonces
$$ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1 \ne x_2 \text{ }(*).$$
Deje $f(x_1)=y_0=f(x_2)$ y deje $g(y_0)=z_0$. A continuación, $$ (g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2) = g(y_0) = z_0. $$
Desde $g \circ f$ es inyectiva,
$$ (g \circ f)(x_1) = (g \circ f_2) \implies x_1 = x_2. $$
Sin embargo, esto se contradice $(*)$. Por lo tanto, $f$ debe ser inyectiva.
(b) Supongamos $g$ no es surjective. Entonces
$$ \forall y \in Y, \exists z \in Z \text{ such that } g(y) \ne z \text{ }(**).$$
Ya, $g \circ f$ es surjective,
$$ \forall z \in Z, \exists x \in X \text{ such that } g(f(x)) = z \text{ } (***). $$
Deje $f(x) = y$. A continuación,
$$ g(f(x)) = g(y) = z. $$
Porque de $(***)$, esto es cierto para todos los $z \in Z$, lo que contradice $(**)$. Por lo tanto, $g$ debe ser surjective.
