La teoría ondulatoria de Huygens no se aplica a los rayos láser o rayos paralelos de luz?

Question

Según de la teoría ondulatoria de Huygens, cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de las olas.

Usando este principio, nunca tenemos bastante estrecha rayos paralelos de luz a la derecha? Como el láser? Siempre habrá "fuga"(término equivocado?) de las olas desde el borde de la viga a la derecha?

Answer 1

Esto es incorrecto. Una amplia región (anchura $\gg\lambda$) de muchos, distribuida de manera uniforme en la fase de la onda esférica emisores, como la de Huygens equivalente de un rayo láser de la sección transversal, se comporta como un phased array de antenas, con el resultado de que la interferencia destructiva entre los emisores cancela la radiación desviarse significativamente de la viga y refuerza la radiación a lo largo de la viga. Lo que no es, de hecho, ser arbitrariamente conos de Huygens de la teoría.

Lo que se podría pensar es que esta teoría no lidiar bien con un unidireccionalmente a la propagación del haz. Si reemplazamos el rayo láser de la sección transversal en la fase esférico emisores, un haz estrecho es radiada a la vez hacia delante y hacia atrás (un phased array de antenas hace, por ejemplo). Aquí es donde uno debe llamar en un factor de oblicuidad para restaurar la unidireccionalidad. Fresnel-Huygens de la teoría multiplica el esférico patrón de radiación por $\frac{1}{2}(1+\cos\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo entre la dirección de propagación y la línea que une el centro de la Huygens frente de onda y el punto en cuestión.

Si usted mira la de Huygens-Fresnel integral de difracción en la Wikipedia enlace de arriba, a continuación, considere la viga de sección transversal de $B$ $x-y$ plano y, a continuación, también un punto de $P$ de las coordenadas $(x, y, z)$ en la farfield (es decir, de modo que $R = \sqrt{z^2+y^2+z^2} \gg w$ donde $w$ es el máximo ancho de la viga de sección transversal, a continuación, un Huygens superposición de esférica emisores repartidas en $B$ va a engendrar una perturbación en $P$ de los:

$$\int_B \frac{\exp\left(i\,k\,\sqrt{\left(x-x^\prime\right)^2+\left(y-y^\prime\right)^2+z^2}\right)}{\sqrt{\left(x-x^\prime\right)^2+\left(y-y^\prime\right)^2+z^2}}\,h\left(x^\prime,y^\prime\right)\,\mathrm{d}x^\prime\mathrm{d}y^\prime\approx $$ $$\frac{e^{i\,k\,R}}{R} \int_B \exp\left(-i \frac{k}{R}\left(x\,x^\prime+y\,y^\prime\right)\right)\,h\left(x^\prime,y^\prime\right)\,\mathrm{d}x^\prime\mathrm{d}y^\prime$$

donde $h\left(x^\prime,y^\prime\right)$ representa cualquier haz de apodisation y la aberración (variación de la intensidad y la fase, respectivamente) y simplemente he tirado el denominador fuera de la integral: esto se justifica porque, como proporción de sí mismo, $\sqrt{\left(x-x^\prime\right)^2+\left(y-y^\prime\right)^2+z^2}$ no varía mucho de $\left(x^\prime,y^\prime\right)\in B$$R\rightarrow\infty$, pero, como un número de longitudes de onda que varía mucho, por lo que debemos mantener el numerador. Por lo tanto, podemos ver dos resultados:

1. La expresión es simétrica en $z$, es decir, la misma perturbación se propaga hacia atrás como hacia delante, de manera que el haz no es unidireccionalmente propagación. Esta es la razón por la Fresnel presentó su factor de oblicuidad $K(\chi)$ a retirar hacia atrás la propagación de la onda;
2. La farfield viga de sección transversal está dada por la transformada de Fourier de la viga de sección transversal en $B$, pero con un factor de escala $\frac{k}{R}$ en la transformada de Fourier del argumento, es decir, una vez que lleguemos a una distancia razonable de la sección transversal en el $z=0$, la "forma" de la proyección de la viga no cambia - siempre es igual a la transformada de Fourier de la viga en $z=0$, pero de la misma forma se ha dilatado por un factor proporcional a $R$.

Este esquema de difracción se llama difracción de Fraunhoffer. De modo que el haz difractado pueden hacer bien centrado en la farfield si la sección transversal en el $z=0$ es amplia. Por medio de la transformada de Fourier, hay una proporcionalidad inversa entre el ancho de la viga en $z=0$ y que en la farfield. Este es exactamente el comportamiento de una alta calidad de rayo láser - usted siempre obtendrá una dilatación proporcional a $R$ - la única manera de evitar esto es tener un plano de la onda de alcance infinito.

Para conseguir algunos de la intuición por el resultado, testimonio de que la teoría anterior da, por la difracción del haz Gaussiano definido por:

$$h\left(x^\prime,y^\prime\right) = \exp\left(-\frac{{x^\prime}^2+{y^\prime}^2}{2\sigma^2}\right)$$

difractada resultado en el punto de $P=(x,y,z)$:

$$\frac{e^{i\,k\,R}}{R} \int_B \exp\left(-i \frac{k}{R}\left(x\,x^\prime+y\,y^\prime\right)\right)\,h\left(x^\prime,y^\prime\right)\,\mathrm{d}x^\prime\mathrm{d}y^\prime = \frac{\sigma^2}{R} \exp\left(-\frac{k^2 \sigma ^2 \left(x^2+y^2\right)}{2 R^2}\right)$$