Mostrar que $P(X+Y+Z\text{ is a multiple of }3)\ge 1/4$

Question

Supongamos que una caja contiene entradas, cada una etiquetada por un número entero. Deje $X,Y$ $Z$ ser los resultados de los sorteos al azar con reemplazo de thw cuadro. Demostrar que no importa lo que la distribución de los números en el cuadro,

$$P(X+Y+Z\text{ is a multiple of }3)\ge 1/4\;.$$

Sugerencia: piense en los restos al dividir por 3

Answer 1

1. $X$, $Y$ y $Z$ siguen la misma distribución.

2. Vamos $p_0 = \mathbb{P}( X\mod 3 \equiv 0)$, $p_1 = \mathbb{P}( X\mod 3 \equiv 1)$ y $p_2 = \mathbb{P}( X\mod 3 \equiv 2)$ $p_0+p_1+p_2=1$.

3. Ahora $\mathbb{P}( X + Y + Z \mod 3 \equiv 0) = p_0^3 + p_1^3 + p_2^3 + 6 p_0 p_1 p_2$, porque hay 9 triples que conduce al resultado deseado: $[0,0,0]$, $[1,1,1]$, $[2,2,2]$, y 6 permutaciones de $[0,1,2]$.

4. Ahora minimizar $p_0^3 + p_1^3 + p_2^3 + 6 p_0 p_1 p_2$ sujeto a las limitaciones de $p_0, p_1, p_2 \ge 0$$p_0+p_1+p_2=1$, lo que produce exactamente $\frac{1}{4}$, lo que demuestra el resultado.