Quiero resolver la relación de recurrencia
$$f(x)^2=f(x+1)+S(x)$$
donde $S(x)$ es un polinomio dado. El fondo es encontrar anidada radicales expresiones de la forma $$\sqrt{S(x)+\sqrt{S(x+1)+\sqrt{...}}}$$
Estoy especialmente - pero no sólo - interesado en el caso de $S(x)=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}x^2$.
Yo no tengo ninguna de las técnicas convencionales, como el problema es no lineal.
Lo que he probado hasta ahora:
He encontrado en el caso homogéneo $S(x)=0$ soluciones posibles son $$f(x)=1,\qquad f(x)=e^{c 2^x}.$$ Sin embargo, como el problema es no lineal en $f$, dudo que esto puede ser de utilidad.
He definido $f(x,t)$ como la solución de $$f(x,t)^2=f(x+1,t)+t S(x)$$ and tried to derive an equation of motion in "time" $t$ which i could integrate with the "intial condition" for $t=0$ dada por la anterior solución homogénea.
Otro enfoque es permitir continuo de los valores de $x\in\mathbb{R}$, interpretar $f$ como una función y escribir como una potencia de la serie en $x$, es decir, $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n.$$ Entonces la ecuación conduce a un conjunto infinito de ecuaciones no lineales para la secuencia de $(a_n)$. Estas ecuaciones contienen un número infinito de incógnitas y también son no lineales, no parece prometedor...
He definido el operador $$Df(x):=f(x)^2-f(x+1)$$ and found some properties, like $$D(f+g)=Df+Dg+2fg$$ $$Df=0\Rightarrow D(fg)=f^2Dg$$ Estas propiedades permiten relacionar las soluciones de los diferentes inhomogenities $S(x)$ a cada uno de los otros, sin embargo, me din no encontrar una manera de aprovechar este.
También se encuentra este hilo sobre el caso $S(x)=x+1$
Cualquier otra idea??
Gracias por la ayuda.
