Girsanov: Cambio de deriva, que depende del proceso de

Question

Conocidos:

Si estoy mirando un SDE como:

$dX_t = b(t,\omega) dt + dW_t$ $W_t$ un movimiento Browniano en virtud de una medida $P$.

Sé que se puede cambiar la deriva por el uso de Girsanov a

$dX_t = (b(t,\omega)+c(t,\omega)) dt + d\bar{W}_t$ $\bar{W}_t$ un movimiento Browniano en virtud de una nueva medida $Q$.

si $c$ satisface una condición tal que $Z_t= exp(-\int_{0}^{t} c(s,\omega) dW_s - 1/2 \int_{0}^{t} c(s,\omega)^2 ds)$ $P$- Martingala.

(Por favor, corrígeme si me equivoco)

PREGUNTA

Ahora estoy interesado en un SDE con una deriva que depende también de la actual posición $X_t$ y quiero cambiar su deriva:

$dX_t = b(t,X_t) dt + dW_t$ $W_t$ un movimiento Browniano en virtud de una medida $P$.

A $dX_t = (b(t,X_t)+c(t,X_t)) dt + d\bar{W}_t$

De nuevo, supongo que $Z_t= exp(-\int_{0}^{t} c(t,X_t) dW_s - 1/2 \int_{0}^{t} c(t,X_t)^2 ds)$ $P$- Martingala.

Ahora mis preguntas:

1. ¿Puedo hacer esto?

2. En caso afirmativo: ¿en qué condiciones es la última $Z_t$ una Martingala? (Alguien me dijo, que él piensa que si $c(t,x)=c(x) \leq C (1+|x|)$ $Z_t$ es una Martingala, es esto correcto? (por qué?) ¿Puedo utilizar esta Novikov condición de aquí?)

3. ¿Usted tiene un de referencia donde encontrar más información acerca de este que no es el típico deriva cambio por Girsanov?

Answer 1

Voy a utilizar $B:=\bar{W}$ por la simplicidad. En cuanto a lo que queremos, vemos que nos gustaría tener

$$W_t=\int c(s,X_s)ds + B_t\iff B_t=W_t-\int c(s,X_s)ds$$

para un proceso dado,$X$. Deje $Y_t:=c(t,X_s)$. Deje $Z:=\mathcal{E}(Y\circ W)$ donde $Y\circ W=\int Y_sdW_s$. Por lo tanto, usted necesita algunos estructural supuestos en $c$ tal de que se le permite escribir $Y\circ W$. En general $Z$ es una martingala local y positivo en $[0,\infty)$ por lo tanto, un supermartingale (Fatou). Por lo tanto, $Z_t$ converge a $Z_\infty$ $P$-una.s. Puede suceder que $Z_\infty = 0$ e o $E[Z_\infty] < 1$. La condición de $E[Z_\infty]=1$ es equivalente a la propiedad que $Z$ es un (uniformemente integrable) martingala en $[0,\infty]$. Aquí usted puede utilizar Novikov del estado. Así que si

$$E[\exp{(\frac{1}{2}\langle Y\circ W\rangle_\infty)}]<\infty$$ a continuación, $Z$ es uniformemente integrable martingala en $[0,\infty]$. Debemos tener $\langle Y\circ W\rangle_\infty <\infty$ a garantizar que $Z_\infty$ se convierte en no $0$ con probabilidad positiva. Supongamos que es cierto que $Z_\infty >0$. A continuación, puede definir una probabilidad de medida $Q$ que es equivalente a $P$$\frac{dQ}{dP}=Z_\infty$. El general de Girsanov le dice que para un continuo local martingala $M$ w.r.t $P$ y una densidad de proceso $Z$ hemos

$$\tilde{M}=M-\int\frac{1}{Z}d\langle Z,M\rangle=M-\langle L, M\rangle$$ es una constante de martingala w.r.t $Q$ donde $Z$ es de la forma $Z=\mathcal{E}(L)$ para un continuo local martingala $L$. Tome $W=M$ $L=Y\circ W$ a la conclusión de

$$\tilde{M}=:B=M-\langle L,M\rangle=W-\int Y_s ds$$

Es fácil comprobar que $B$ $Q$ el Movimiento Browniano (Lévy).

Después de todo lo que se les permite hacer eso en algunas hipótesis en $c$:

1. $Y\in L^2_{loc}(W)$
2. $E[\exp{(\frac{1}{2}\langle Y\circ W\rangle_\infty)}]<\infty$
3. $\langle Y\circ W\rangle_\infty <\infty$

Tenga en cuenta que $2$ $3$ "justo" condición suficiente en este caso. Así que son un buen puñado de puntos para empezar.