Ejemplo para $\dfrac{p_1p_2-1}{p_1+p_2}$ siendo el número natural impar .

Question

Si $p_1,p_2$ son números primos Impares , ¿es posible que

$\dfrac{p_1p_2-1}{p_1+p_2}$ es un número natural impar mayor que 1.

Answer 1

Sugerencia : Supongamos que $\dfrac{p_1p_2-1}{p_1+p_2} = 2k+1$ para algún número entero positivo $k$ . Entonces, tenemos:

$p_1p_2-1 = (2k+1)(p_1+p_2)$

$p_1p_2-(2k+1)p_1-(2k+1)p_2-1 = 0$

$p_1p_2-(2k+1)p_1-(2k+1)p_2+(2k+1)^2 = (2k+1)^2+1$

$(p_1-(2k+1))(p_2-(2k+1)) = 2(2k^2+2k+1)$

Claramente, $2k^2+2k+1$ es impar, por lo que exactamente uno de $p_1-(2k+1)$ y $p_2-(2k+1)$ puede ser uniforme.

¿Ves cómo esto ayuda?

Answer 2

Exactamente uno de $p1+p2,p1p2-1$ es un múltiplo de 4.

Answer 3

Escriba los números Impares $p_1,p_2$ y el resultado als números de la forma $2k+1,2j+1,2m+1$ Entonces $${(2k+1)(2j+1)-1 \over 2k+1+2j+1} = 2m+1 \tag 1$$ Ampliado
$${4kj + 2(k+j) \over 2k+2j+2} = 2m+1 \\ 2kj + (k+j) = (2m+1)(k+j+1) \\ 2kj + (k+j) = (2m+1)(k+j)+(2m+1) \\ 2kj = 2m(k+j)+2m+1 \\ 2kj = 2m(k+j+1)+1$$

y finalmente $$2(kj-m(k+j+1)) = 1 \tag 2$$ En la última fila, la lhs es par y la rhs es impar, por lo que no hay solución posible.

Tenga en cuenta que la propiedad de $p_1,p_2$ no se utilizó el hecho de ser primos, sólo que son números Impares

Answer 4

$$\dfrac{p_1p_2-1}{p_1+p_2}=p_1-\left(\dfrac{p_1^2+1}{p_1+p_2}\right)$$ Por lo tanto, basta con encontrar primos $p_1, p_2$ tal que $$p_1^2+1|p_1+p_2.$$

Una de estas formas es, primos de la forma $$p_2=p_1^2-p_1+1.$$

$(3,7),(7,43),(13,157)$ son los pares más pequeños.
Además, no tengo ni idea del número de estos pares primos.