cada punto está cerrado?

Question

Si tenemos un espacio topológico $X$, considere lo siguiente:

Deje $p \in X$. A continuación, $\{p\}$ no tiene ningún límite de puntos debido a que es un subconjunto de a $X$, lo $\{p\}$ es cerrado.

Es esto correcto? Para cada punto de subconjunto en un determinado espacio topológico es cerrado? Donde están mis errores?

Answer 1

Usted puede encontrar los siguientes útiles:

Un espacio topológico $X$ $T_1$-espacio si siempre $x,y\in X$$x\ne y$, existe un conjunto abierto $U$ tal que $x\notin U$$y\in U$.

La proposición. $X$ $T_1$ fib $\{x\}$ es cerrado para cada una de las $x\in X$.

Prueba. Supongamos primero que $X$$T_1$, y deje $x\in X$. Que para cada una de las $y\in X$ hay un abrir $U_y\subseteq X$ tal que $y\in U_y$$x\notin U_y$. Deje $U=\bigcup_{y\in X\setminus\{x\}}U_y$; a continuación, $U$ está abierto, y $U=X\setminus\{x\}$, lo $\{x\}$ es cerrado. Ahora supongamos que $x\in X$ $\{x\}$ es cerrado. A continuación, $U=X\setminus\{x\}$ está abierto, y si $x\ne y\in X$, $U$ es un conjunto abierto tal que $x\notin U$ y $y\in U$. $\dashv$

Hay muchos espacios que no son $T_1$. Por ejemplo, supongamos $X=\Bbb N$, para cada una de las $n\in\Bbb N$ vamos $$U_n=\{k\in\Bbb N:k<n\}\;,$$ and let $\tau=\{\Bbb, N\}\cup\{U_n:n\in\Bbb, N\}$; then $\langle X,\tau\rangle$ is a space that isn't $T_1$. In fact, if $m,n\in X$ with $m,n$, and $U$ is any open set containing $n$, then $m\en U$ as well. Even simpler is the Sierpiński space, whose underlying set is $\{0,1\}$ and whose open sets are $\varnothing,\{1\}$, and $\{0,1\}$: there is no open set containing $0$ but not $1$.

Answer 2

Deje $X=\{1,2,3\}$. Deje $\mathcal{T} = \{ \emptyset, \{1,2\}, \{1,2,3\} \} $. Entonces el conjunto $\{ 2 \}$ no está cerrado. No está abierto.