Entero partición de identidad

Question

Vamos a ser $ p(n,4)$ número de particiones de $ n $ en partes no mayor de $4$

$$p(13n,4)-p(n,4)={61\over4}n^3 + {35\over2}n^2 + \frac{45+3(-1)^n}{8}n$$

Puedo demostrar esta identidad que a mí me parece muy interesante (En mi trabajo, aún inédito, necesito 3 o 4 páginas de explicarlo a todos). Si alguien tiene alguna referencia de donde se menciona la fórmula anterior me permite saber, o un corto de prueba, si es posible. Ver [A191698] en OEIS

Answer 1

Para agregar a Qiaochu la respuesta, hay un gran cuerpo de trabajo en existencia en la Función de Partición. Deje $P(n,k)$ denotar el número de maneras de escribir $n$ como una suma de exactamente $k$ enteros positivos. (Similar a la su $p(n,k)$ anterior), Entonces tenemos la relación de recurrencia $$P(n,k)=P(n-1,k-1)+P(n-k,k).$$ This can be solved exactly, see equations $(61)$ to $(66)$ de los Wolfram enlace.

Answer 2

Fijo $k$, la secuencia de $p(n, k)$ tiene la generación de la función

$$F_k(x) = \sum_{n \ge 0} p(n, k) x^n = \frac{1}{(1 - x)(1 - x^2)...(1 - x^k)}.$$

La generación de esta función es racional, de tal manera parcial fracción de descomposición da una fórmula explícita para sus coeficientes. Si esto no está cubierto en Wilf del generatingfunctionology, debe ser cubierta en Flajolet y Sedgewick de la Analítica de la Combinatoria.

Un muy general el enfoque automáticamente demostrar ciertos tipos de identidades combinatorias, que estoy razonablemente seguro de que controla este caso especial correctamente, se describe en Petkovsek, Wilf, y Zeilberger del A=B.

Answer 3

Con respecto a Qiaochu la respuesta de la fracción parcial de la descomposición es complicado (en comparación con, digamos, para cualquier cosa que te gustaría poner en un examen de cálculo), con 8 de los términos y coeficientes como 59/288. Es elaborado en detalle en el libro precioso por Andrews y Eriksson, Entero Particiones, en la Sección 6.3, en la fórmula para $p(n,4)$, páginas 58-60. Se dan varias fórmulas para $p(n,4)$, tal vez la más sencilla es $$p(n,4)={\rm\ nearest\ integer\ to\ }{(n+5)(n^2+n+22+18\left[{n\over2}\right])\over144}$$

Supongo que uno podría usar esto para tener un ir en $q(n)=p(13n,4)-p(n,4)$. Pero podría ser mejor para trabajar directamente con la generación de la función de $q(n)$.