Encontrar la matriz exponencial

Question

Estoy tratando de calcular la matriz exponencial para $$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) $$ Pero estoy atascado. Hay un par de métodos que yo sepa, pero ninguno de ellos parece estar funcionando.

En primer lugar, traté de ver si la matriz fue nilpotent. No es. Luego trató de dividir la matriz en la identidad y espera que el resto de la matriz se nilpotent. No es.

Siguiente, traté de hacerlo mediante la resolución de la matriz fundamental, pero el polinomio característico es $(x^2-1)^2$, lo que implica que hay dos autovalores $1$ $-1$ con multiplicidad $2$ cada uno. Yo era incapaz de encontrar los correspondientes vectores propios desde $(A-I)^2 \neq 0$$(A+I)^2 \neq 0$.

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Usted tiene una matriz compuesta por dos 2x2 bloques diagonales. Usted puede calcular la exponencial de los bloques separaterly. Los bloques son de la forma $I+N$ $-I+M$ donde $N$ $M$ son nilpotent ($N^2=0$, $M^2=0$). Así: $$ e^{N+I} =e^Ne^I = (I+N)e^I, \qquad e^{M-I} = e^M e^{-I}=(I+M)e^{-I}. $$

Matriz exponencial puede ser calculada blockwise debido a la exponencial es una suma de poderes, y ambas sumas y los productos pueden ser calculadas blockwise. La exponencial de una plaza libre de la matriz de $N$ $I+N$ ya que todos los poderes superiores: $N^2$, $N^3$... en suma: $e^N = I + N + N^2/2 + N^3/3! + ...$ son nulos. Claramente $I$ conmuta con todas las de la matriz, por lo tanto $\exp(N+I) = e^Ne^I$. Lo mismo es cierto para $-I$ que es un múltiplo de a $I$.

Específicamente: $$ \exp\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e&0\\0&e\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e&2e\\0&e\end{pmatrix} $$ mientras $$ \exp\begin{pmatrix}-1&0\\1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/e&0\\0&1/e\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/e & 0\\1/e & 1/e\end{pmatrix} $$ Por lo tanto $$ e^A = \begin{pmatrix}e&2e&0&0\\ 0&e&0&0\\ 0&0&1/e&0\\ 0&0&1/e&1/e\end{pmatrix} $$

Answer 2

Usted puede escribir la matriz en la forma de Jordan $$ A = P J P^{-1}$$ and calculate the exponential as $$ e^A = P e^J P^{-1}.$$

El $e^J$ se puede calcular fácilmente observando que cada bloque de Jordan puede ser escrito como $\lambda I + N$ donde $N$ es nilpotent de la matriz y de la exponencial de cada bloque es $$ e^{\lambda I} e^N.$$

Answer 3

Se puede deducir de la información que hemos reunido de que la forma normal de Jordan $J$ de la matriz es $J_2(1) \oplus J_2(-1)$ donde $J_k(\lambda)$ $k \times k$ Jordania bloque de autovalor $\lambda$, por lo que hay una verdadera matriz $P$ tal que

$$A = PJP^{-1} = P (J_2(1) \oplus J_2(-1)) P^{-1}.$$

Esto es útil, como la sustitución en el poder de expansión de la serie de $\exp A$ da que $$\exp A = P (\exp J) P^{-1} = P \exp (J_2(1) \oplus J_2(-1)) P^{-1}.$$

Mejor aún, usando de nuevo el poder de la serie fórmula da (más o menos trivial) que $$\exp (B \oplus C) = \exp B \oplus \exp C$$ para matrices cuadradas $B, C$, lo que reduce el problema a la computación $\exp J_2(1)$ $\exp J_2(-1)$.

Un argumento fácil (de nuevo usando el poder de la serie de la expresión de $\exp $) que da $$\exp J_2(\lambda) := \begin{pmatrix}e^{\lambda} & e^{\lambda}\\ 0 &e^{\lambda}\end{pmatrix}.$$

Similares existen fórmulas para $\exp J_k(\lambda)$ general $k$; véase, por ejemplo, la parte inferior de la página 6 de http://www.ing.unitn.it/~bertolaz/2-enseñanza/2012-2013/AA-2012-2013-DYSY/lucidi/Exponencial.pdf, que también da cierta justificación para que el argumento anterior y algunos comentarios acerca de la computación de la matriz exponenciales explícitamente en general.