Estoy tratando de calcular el grupo de galois $\operatorname{Gal}( \mathbb{Z}_q (\vartheta_p) : \mathbb{Z}_q) $ donde $p$ $q$ son diferentes de los números primos, $\mathbb{Z}_q$ $q$-adic anillo, $\vartheta_p$ una primitiva $p$-ésima raíz de la unidad, pero acabo de llegar, que está incrustado en $\mathbb{Z}/(p)$ y no la igualdad. ¿Cómo se podría solucionar esto?
Respuesta
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Lo siento por publicar mi opinión en los comentarios en lugar de simplemente responder a la pregunta, pero he encontrado las referencias que yo estaba buscando en mis notas.
Aquí está la versión de Hensel del lexema quiero usar:
Deje $f(x)\in \mathbb{Z}_q[x]$ no divisible por $q$. Supongamos $f(x) \equiv \overline{g}(x)\overline{h}(x) \bmod q$ donde $(\overline{g}(x), \overline{h}(x)) = 1$. A continuación, podemos encontrar ascensores $g(x)$ $h(x)\in \mathbb{Z}_q[x]$ tal que $f = gh$$\deg(g) = \deg(\overline{g})$.
Deje $\Phi_p(x)$ $p$th cyclotomic polinomio. Por la teoría de la cyclotomic campos, $\Phi_p$ factores como producto de la $(p-1)/f$ monic polinomios irreducibles de grado $f$ modulo $q$ donde $f$ es el orden de $q$$(\mathbb{Z}/(p))^\times$. Estos polinomios irreducibles será pares de primos relativos en $\mathbb{Z}[x]/q\mathbb{Z}[x]$. Luego Hensel implica esta factorización de ascensores para la factorización de $\Phi_p(x)$$\mathbb{Z}_q[x]$.
Contiguo $\zeta_p$ $\mathbb{Q}_q$va a ser entonces un grado $f$ extensión de Galois grupo isomorfo al grupo de Galois de la extensión local $\mathbb{F}_q(\zeta_p)/\mathbb{F}_q$. Este grupo de Galois es cíclica, es decir, generado por el Frobenius elemento $x \mapsto x^q$.
Por lo tanto, a menos que me tiene confundido, $$\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}_q(\zeta_p)/\mathbb{Q}_q) \cong \mathbb{Z}/f\mathbb{Z},$$ generado por $\sigma(x) = x^q$. Donde $f$ es el orden de $q$$(\mathbb{Z}/(p))^\times$.
