Encontrar $\int_0^\frac{\pi}{2} \frac {\theta \cos \theta } { \sin \theta + \sin ^ 3 \theta }\:d\theta$

Question

Mi Calc 2 profesor no era capaz de resolver esto: $$\int_0^\frac{\pi}{2} \frac {\theta \cos \theta } { \sin \theta + \sin ^ 3 \theta }\:d\theta$$

Alguien me puede ayudar a resolver esto?

Answer 1

En primer lugar Empezar con Básicos de Integración por Partes: $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x \cos x}{\sin{x}+\sin^3 x}\, dx = -\frac{\pi}{4}\log 2 - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \log{\sin{x}} - \frac{\log(1+\sin^2 x)}{2}\, dx \right) $$

$$$$

Desde entonces, $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log\sin x\, dx = -\frac{\pi}{2} \log 2 $$

$$\therefore\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x \cos x}{\sin x+\sin^3 x} \, dx = \frac{\pi}{4} \log 2 + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\log(1+\sin^2 x)}{2}\, dx \tag 1$$

$$$$

Ahora, vamos (para algunos $k$): $$I(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\log(1+\sin^2 x + k \sin^2 x)}{2}\, dx \tag 2$$

Con el fin de encontrar $I(k)$:

$$\frac{\partial I}{\partial k} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2}{x}\, dx}{1+\sin^2 x +k\, \sin^2 x} $$

$$\implies I'(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{k+1}\left(1-\frac{\sec^2 x}{1+(k+2)\tan^2 x}\right)\, \, dx $$

$$=\frac{x}{k+1}-\frac{\tan^{-1}{(\sqrt{k+2}\,\tan x)}}{(k+1)\, \sqrt{k+2}}\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2k+2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{k+2}}\right)$$

Ahora se acaba de integrar (utilizando el Cálculo 1 conocimiento): $$I(k)= \frac{\pi}{2}\left(\log{(k+1)}-\log\left(\frac{\sqrt{k+2}-1}{\sqrt{k+2}+1}\right)\right)+C=\frac{\pi}{2}\, \log\left(2\, (\sqrt{k+2}+1)^2\right)+C$$

$$\therefore I(k) = \frac{\pi}{2}\, \log{\left(2 (\sqrt{k+2}+1)^2\right)}+C \tag 3$$

A partir de este paso, vamos a resolver para $C$:

Para encontrar $C$, sustituto $k=-1$.

De $(2)$, tenemos: $$\therefore I(-1) = 0$$

De $(3)$, tenemos: $$I(-1) = \frac{3\,\pi}{2}\log 2+C$$ $$\implies C= - \frac{3\,\pi}{2}\log 2$$

$$\therefore I(0) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(1+\sin^{2}{x})\, dx = \frac{\pi}{2}\, \log\left(2\, (\sqrt{2}+1)^2\right) - \frac{3\,\pi}{2} \log 2$$

Ahora uso $(1)$: $$\therefore\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x \cos x\, dx}{\sin x +\sin^3 x} = \frac{\pi}{4}\,\log 2 + \frac{\pi}{4}\, \log\left(2\, (\sqrt{2}+1)^2\right) - \frac{3\,\pi}{4}\log 2$$

$$= \frac{\pi}{4}\log\left(\frac{3+2\,\sqrt{2}}{2}\right)$$

Answer 2

SUGERENCIA:

$$\int x\dfrac{\cos x}{\sin x(1+\sin^2x)}dx$$

$$=x\int\dfrac{\cos x}{\sin x(1+\sin^2x)}dx-\int\left(\dfrac{dx}{dx}\cdot\int\dfrac{\cos x}{\sin x(1+\sin^2x)}dx\right)dx$$

Set $\sin x=u$

Para $\dfrac1{u(u^2+1)}=\dfrac{u^2+1-u^2}{u(u^2+1)}=?$

Answer 3

Se puede transformar la integral por partes para obtener

$$\int_0^{\pi/2} d\theta \frac{\theta \cos{\theta}}{\sin{\theta} (1+\sin^2{\theta})} = \int_0^{\pi/2} d(\sin{\theta}) \left (\frac1{\sin{\theta}}-\frac{\sin{\theta}}{1+\sin^2{\theta}} \right )\theta \\ = -\frac{\pi}{4} \log{2} - \int_0^{\pi/2} d\theta \left [\log{(\sin{\theta})} - \frac12 \log{(1+\sin^2{\theta})} \right ]$$

Ahora,

$$\int_0^{\pi/2} d\theta \log{(\sin{\theta})} = - \frac{\pi}{2} \log{2}$$

$$\int_0^{\pi/2} d\theta \,\log{(1+\sin^2{\theta})} = \frac{\pi}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k 2^{2 k}} \binom{2 k}{k} $$

La definición de

$$f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k 2^{2 k}} \binom{2 k}{k} x^k$$

nos encontramos con que

$$f'(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2^{2 k}} \binom{2 k}{k} x^{k-1} = \frac1{x} \left (\frac1{\sqrt{1+x}}-1 \right )$$

así que

$$f(x) = \log{\left [\frac{\sqrt{1+x}-1}{ x \left (\sqrt{1+x}+1\right )} \right ]}+C$$

$$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \implies C=\log{4} $$

Así, poniendo todo esto junto, obtenemos

$$\int_0^{\pi/2} d\theta \frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta} (1+\sin^2{\theta})} = \frac{\pi}{2} \log{(1+\sqrt{2})} - \frac{\pi}{4} \log{2} = \frac{\pi}{4} \log{\left (\frac{3}{2} + \sqrt{2} \right )}$$

Answer 4

En el espíritu de ambos (i) la respuesta sólida publicado por @yagnapatel y (ii) ESTA RESPUESTA, se procede aquí mediante el uso de la técnica de Diferenciación Bajo el Signo Integral para evaluar la integral de interés.

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PASO 1:

Deje que la integral de interés $I$ ser dada por

$$I=\int_0^{\pi/2} \frac{\theta \cos \theta}{\sin \theta +\sin^3 \theta}\,d\theta \tag 1$$

En primer lugar, la integración de $(1)$ por partes con $u=\theta$ $v=\log (\sin \theta)-\frac12 \log (1+\sin^2 \theta)$ rendimientos

$$\begin{align} I&=-\frac{\pi}{4}\log 2+\int_0^{\pi/2}\left(\frac12 \log (1+\sin^2 \theta)-\log (\sin \theta)\right)\,d\theta\\\\ &=\frac{\pi}{4}\log 2+\frac12\int_0^{\pi/2} \log (1+\sin^2 \theta)\,d\theta \tag 2 \end{align}$$

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PASO 2:

Segundo, examinamos la integral de la $J(a)$ que se define como

$$J(a)=\int_0^{\pi/2}\log (a+\sin^2 \theta)\,d\theta$$

y tenga en cuenta que $J(1)$ es la integral que aparece en el lado derecho de la $(2)$.

Además, se observa que el $J(0)=-\pi\log 2$, e $J'(a)$ está dado por

$$J'(a)=\int_0^{\pi/2} \frac{1}{a+\sin^2\theta}\,d\theta$$

Ahora, en ESTA RESPUESTA, me mostró que $J'(a)$ está dado por

$$\begin{align} J'(a)&=\int_0^{\pi/2}\frac{1}{a+\sin^2\theta}\,d\theta\\\\ &=\text{sgn}(a)\frac{\pi}{2\sqrt{a(a+1)}} \tag 3 \end{align}$$

Tenga en cuenta que este resultado también puede obtenerse usando el bien conocido de Weierstrass de Sustitución.

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PASO 3:

Tercero, integramos $(3)$ y hacer uso de $J(0)=-\pi \log 2$ a que, para $a>0$

$$J(a)=\pi \log(\sqrt{a}+\sqrt{1+a})-\pi \log 2$$

y por lo tanto

$$J(1)=\pi\log(1+\sqrt{2})-\pi \log 2 \tag 4$$

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PASO 4:

Por último, sustituimos $(4)$ a $(2)$ a revelar

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{I=\frac{\pi}{2}\log\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$$

lo que concuerda con los resultados reportados por otros desde $\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac32 +\sqrt{2}$! Y hemos terminado.

Answer 5

$$ \int \frac {\theta \cos \theta } { \sin \theta + \sin ^ 3 \theta} \,d\theta = \underbrace{\int \theta \, dx = \theta x \int x\,d\theta}_{\text{integración por partes}} $$ $$ dx = \frac { \cos \theta } { \sin \theta + \sin ^ 3 \theta} \,d\theta = \frac{du}{u+u^3} = \frac{du}{u(1+u^2)} = \left( \frac de Una u + \frac{Bu+C}{1+u^2} \right)\,du $$

$$ \frac{Bu}{1+u^2} \, du = \frac B 2\cdot \frac{ps} w $$

$$ \int \frac C {1+u^2} \, du = C \arctan u +\text{constante} $$

Usted necesita hacer un poco de álgebra para encontrar los tres coeficientes de $A,B,C$, y, a continuación, poner todo junto.

Me estoy poniendo $A=1$, $B=-1$, $C=0$, así $$ \int \left( \frac 1 u - \frac u {1+u^2}\right)\, du = \log |u| - \frac 1 2 \log(1+u^2) + \text{constante} $$ pero no necesitamos la constante: en integración por partes sólo necesitamos una antiderivada, no todos de ellos.

Este es $$ \log|\sin\theta| - \frac 1 2 \log(1+\sin^2\theta). $$

De modo que la integral es $$ \theta\left( \log|\sin\theta| - \frac 1 2 \log(1+\sin^2\theta) \right) - \int \left( \log|\sin\theta| - \frac 1 2 \log(1+\sin^2\theta) \right) \, d\theta + \text{constante} $$

No he tomado más allá de que todavía, y no sé si se puede hacer es la forma cerrada.

Sin embargo, a veces es posible encontrar una integral definida, incluso si usted no puede encontrar la integral indefinida.