Demuestre si $|z| < 1$ y $ |w| < 1$ entonces $|1-zw^*| \neq 0$ y $| {{z-w} \over {1-zw^*}}| < 1$

Question

Demuestre si $|z| < 1$ y $ |w| < 1$ entonces $|1-zw^*| \neq 0$ y $| {{z-w} \over {1-zw^*}}| < 1$
Dado que $|1-zw^*|^2 - |z-w|^2 = (1-|z|^2)(1-|w|^2)$

Creo que la primera parte se puede demostrar diciendo $|1-zw^*| = 0$ si y sólo si $zw^*$ = 1.
Y dadas las condiciones eso no puede ser cierto. Sin embargo no sé si esta parte es correcta.

Answer 1

$$ \frac{|z-w|}{|1-\overline{w}z|}<1 $$ si $$ |z-w|<|1-\overline{w}z| $$ si $$ |z-w|^2<|1-\overline{w}z|^2. $$ Por lo tanto, debemos comprobar si $$ (z-w)(\overline{z}-\overline{w})<(1-\overline{w}z)(1-w\overline{z}). $$ En otras palabras, si $$ |z|^2-z\overline{w}-\overline{z}w+|w|^2<1-\overline{w}z-\overline{z}w+|z|^2|w|^2. $$ Por lo tanto, la afirmación se convierte en que si $0\leq a,b<1$ entonces $$ a+b<1+ab. $$ Esto, sin embargo, es obvio ya que $$ 0<1-a-b+ab=(1-a)(1-b) $$ es cierto. Ahora, invierte todos los pasos para obtener una prueba.

Answer 2

Tienes razón. Después de todo, desde $|w^*|=|w|<1$ y $|z|<1$ entonces $|zw^*|=|z||w^*|<1=|1|,$ así que es suficiente.

Para la segunda, hay que demostrar de forma equivalente que $|z-w|<|1-zw^*|.$ Basta con demostrar que $$|z-w|^2<|1-zw^*|^2,$$ o, de manera equivalente, que $$|1-zw^*|^2-|z-w|^2>0.$$ Ahora utilice la ecuación dada, junto con el hecho de que $|z|^2<1$ y $|w|^2<1$ .

Answer 3

En realidad lo que se intenta probar es que la imagen del disco de la unidad $|z|<1$ es la unidad de disco $|w|<1$ Empieza por

$$w=\frac{a-z}{1-\bar{a}z}$$ Entonces

$$z=\frac{a-w}{1-\bar{a}w}$$

$$\bar{z}=\frac{\bar{a}-\bar{w}}{1-a\bar{w}}$$

$$|z|^2=\frac{|a|^2-a\bar{w}-\bar{a}w+|w|^2}{1-a\bar{w}-\bar{a}w+|a|^2|w|^2}$$

ya que por suposición $|z|<1$

$$|a|^2-a\bar{w}-\bar{a}w+|w|^2 <1-a\bar{w}-\bar{a}w+|a|^2|w|^2$$

$$|a|^2+|w|^2 <1+|a|^2|w|^2$$

$$(1-|w|^2)(1-|a|^2)>0$$

desde $|a|<1$ debemos tener $|w|<1$