Cómo mostrar que el grupo abelian?

Question

Tengo este ejercicio:

una. Deje $\sigma \in S_{15}$ ser un elemento de orden 5. ¿Qué tipo de los ciclos se producen en la descomposición de la $\sigma$ en ciclos disjuntos?

b. Deje $S \subseteq S_{15}$ ser uno de los Sylow 5-grupo en $S_{15}$. ¿Cuál es el orden de S? Demostrar que S es abelian y que todos los que no son triviales los elementos son de orden 5.

c. Sea p un número primo y deje $0<k<p$ ser un número natural. Mostrar que el Sylow p-subgrupos del grupo simétrico $S_{kp}$ es abelian.

mi intento y preguntas:

una.En esta parte creo que sólo se puede obtener 5 ciclos, debido a la orden de un producto de ciclos disjuntos es el mínimo común múltiplo de los pedidos de todos, y el 5 es un número primo.

b. Puesto que el orden de $S_{15}$ es de 15!. Debemos tener que el orden de la Sylow 5-subgrupo es $5^3=125$, desde el 5 se produce 3 veces en el producto de la orden. Pero no estoy seguro de cómo demostrar que S es abelian y que todos los elementos no triviales son de orden 5. Para todos los que me conocen no pueden ser elementos de orden 25 y 125. 15! es tan grande que no debería haber ningún problema para que este ajuste, por lo que no debe ser otro argumento para esto? Y ¿cómo puedo demostrar que S es abelian?

c. Aquí no tengo idea. Pero supongo que es una generalización de la b. Así que si yo sabía b, tal vez sería más fácil.

Answer 1

Su solución por parte de una es correcta. (O, al menos, es cierto que cada ciclo en el producto de ciclos disjuntos debe ser un 5-ciclo. No puede, por supuesto, ser más de un ciclo en el producto).

Ahora nos fijamos en el resto del problema. Voy a probar la parte c porque la parte b es un caso especial de la misma.

Queremos mostrar que si $p$ es un número primo, y $0<k<p$ es un número natural, entonces el Sylow $p$-subgrupos del grupo simétrico $S_{kp}$ son abelian.

En primer lugar, tenga en cuenta que los múltiplos de $p$, que es menor o igual a$kp$$p, 2p, 3p, ..., kp$, y cada uno de ellos es divisible por $p$ exactamente una vez desde $k<p$. Por lo tanto el mayor poder de $p$ que se divide $(kp)!$$p^k$, y para el Sylow $p$-subgrupos de $S_{kp}$ tienen orden de $p^k$.

Deje $G$ ser un Sylow $p$-subgrupo de $S_{kp}$. Vamos a demostrar que todo elemento de a $G$ orden $p$. Para ver esto, vamos a $x$ ser un elemento de $G$, y considerar la inconexión la estructura del ciclo de $x$. Tomamos nota de que el orden de $x$ debe ser un divisor o $p^k$ y, por tanto, es un poder de $p$. Por lo tanto la longitud de cada ciclo en la inconexión la estructura del ciclo de $x$ debe ser una potencia de $p$. Pero desde $x$ es un elemento de $S_{kp}$, la longitud de cada ciclo puede ser en la mayoría de las $kp$, y por lo tanto no es divisible por $p^2$. (Desde $k < p$). Por lo tanto la longitud de cada ciclo en la inconexión la estructura del ciclo de $x$$p$, y vemos que $x$ orden $p$. (Esto no era realmente necesario en la parte c, pero se le pidió en la parte b, y por lo que he incluido)

Para mostrar que $G$ es abelian, vamos a exponer un Sylow $p$-subgrupo de $S_{kp}$ que es abelian. El resultado entonces de la siguiente manera porque todos los Sylow $p$-subgrupos de $S_{kp}$ son isomorfos.

Considerar el subgrupo de $S_{kp}$ que es generado por los elementos de a $x_1, x_2, ..., x_k$ donde $x_m$ es el ciclo de $(((m-1)p+1)\,\, ((m-1)p+2)\,\,...\,\,mp)$. (por ejemplo, $x_1$ es el ciclo $(1\,\,2\,\,3\,\,...\,\,p)$, $x_2$ es el ciclo de $((p+1)\,\,(p+2)\,\,...\,\,2p)$, y así sucesivamente) Tomamos nota de que estos ciclos son distintos, y por lo tanto viaje.

Podemos ver que los elementos de este subgrupo son precisamente los elementos $$\prod_{i=1}^{k} x_i^{m_i}$$ donde $0 \leq m_i < p$ por cada $i$. Vemos que el grupo ha $p^k$ elementos, y por lo tanto es un Sylow $p$-subgrupo de $S_{kp}$.

También podemos ver que el grupo abelian, señalando que si $$a = \prod_{i=1}^{k} x_i^{m_i}\quad\text{and}\quad b = \prod_{i=1}^{k} x_i^{n_i}$$ entonces $$ab = \prod_{i=1}^{k} x_i^{m_i+n_i} = ba$$ donde la última igualdad se sigue desde el $x_i$'s de viaje.