Caminata al azar en la red cúbica

Question

Supongamos que en cada punto de la cúbico de cuadrícula en n dimensiones es una partícula, y en cada paso de tiempo cada partícula se mueve al azar a uno de sus 2n vecinos. A medida que el tiempo tiende a infinito, ¿cuál es la distribución de probabilidad para el número de partículas en un punto elegido?

Y para rejilla hexagonal en 2d?

Answer 1

Deje $X_p(T)$ el número de partículas en el punto de $p$ después $T$ pasos de tiempo.
Deje $Y_{pq}(T)$ ser el indicador de la variable aleatoria para el caso de que la partícula de partida en $p$ termina en $q$ después $T$ pasos de tiempo. A continuación,$X_p(t) = \sum_q Y_{qp}(t)$. Estas son independientes, y puesto que por la simetría $E[Y_{pq}(t)] = E[Y_{qp}(t)]$ tenemos $E[X_p(t)] = E \left[\sum_q Y_{qp}(t)\right] = 1$. También para cada una de las $q$ tenemos $E[Y_{qp}(t)] \to 0$$t \to \infty$. A continuación, la limitante de la distribución de Poisson con una media de $1$. Creo que esta puede ser demostrado el uso de Le Cam teorema.