Si $f(z)=\cfrac{z+1}{z-1}$ , luego de encontrar a $f^{1991}(2+i)$

Question

Si $f(z)=\cfrac{z+1}{z-1}$ , luego de encontrar a $f^{1991}(2+i)$

Perdona si la pregunta es demasiado corto, pero realmente no sé cómo hacerlo.

Eso es lo que he hecho hasta ahora:

$\left(f(2+i)\right)^{1991}=\left(\cfrac{3+i}{1+i}\right)^{1991}$

Así que ahora Si puedo encontrar una forma polar para $(3+i)$ $(1+i)$ I puede, a continuación, aplicar la propiedad de que para cualquier número complejo he a $(s,\phi)^{1991}=(s^{1991},1991 \cdot\phi)$

El problema es que yo no puede encontrar uno,y comprobando con wolfram alpha he entendido por qué.

Por lo tanto, no debe ser hábil cierto, no estoy viendo.

Pueden ustedes ayudar ?

Answer 1

$$ f^2(z) = \frac{\frac{z+1}{z-1}+1}{\frac{z+1}{z-1}-1} = z $$ Por lo $f^{2k}(z) = z$ $f^{2k+1}(z) = \frac{z+1}{z-1}$

$$f^{1991}(2+i) = \frac{3+i}{1+i} = 2-i$$

Answer 2

Sugerencia:

Compruebe que $f^2(z)=z$. ¿Qué se puede deducir de esta relación?

Answer 3

$f(z)=\cfrac{z+1}{z-1} \Rightarrow f(f(z))=f^2(z)=z$

Del mismo modo $f^3(z)=\cfrac{z+1}{z-1}$

Así que proceder de esta manera conseguimos , $f^{2n}(z)=z$ $f^{2n+1}(z)=\cfrac{z+1}{z-1}$

Por lo $f^{1991}(z)=\cfrac{z+1}{z-1}$

Por lo tanto, $f^{1991}(2+i)=\cfrac{3+i}{1+i}=2-i$