Afirmación probatoria sobre la EDO $y'=y+y^4$

Question

¿Existe una solución al problema? $$\left\{\begin{matrix} y'=y+y^4\\ y(x_0)=y_0 \end{matrix}\right.$$ que se define en $\mathbb{R}$ ? ( $x_0,y_0$ puede ser cualquier número real)

Es fácil demostrar que para todos $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ existe un intervalo abierto $I$ (con $x_0\in I$ ) donde el problema tiene una solución única. Sin embargo, ¿el intervalo máximo es siempre $(-\infty,\infty)$ ? Sé que la respuesta es no, pero eso es sólo porque encontré una solución para valores particulares de $x_0$ y $y_0$ y comprobado su dominio. Pero, ¿hay una manera de probar que $I$ no necesita ser $I=(-\infty,\infty)$ sin resolver realmente el problema para una determinada condición inicial? En otras palabras, ¿cómo puedo demostrar que la solución única no tiene por qué estar definida en $\mathbb{R}$ ?

Answer 1

Soluciones reales, tres regiones: $y > 0,$ entonces $0 > y > -1,$ entonces $y < -1.$ Debo subrayar que su ODE es autónoma, sin dependencia explícita de $x,$ lo que significa que cada curva solución es una traslación lateral de una de las de la imagen. Es algo accidental que una solución para $y > 0$ también proporciona la fórmula exacta correcta para una solución con $y < -1.$ Por eso hay dos curvas en verde claro, con asíntota vertical coincidente.

es de primer orden, por lo que las soluciones no pueden intersecarse o cruzarse entre sí. Hay dos soluciones constantes, $y=0$ y $y=-1.$ Entre ellas, las curvas de solución descienden desde la asíntota horizontal en $y=0$ a la de $y=-1.$

Por encima de $0,$ $y$ aumenta. Una vez, digamos, $y > 2,$ tenemos $y' > 1 + y^2$ y $y > \tan (x - x_0).$ Explosión en tiempo finito; hay una asíntota vertical.

Similar para $y < -1$ si se corre el tiempo hacia atrás. A grandes rasgos, el gráfico de un gran número de curvas de solución se puede girar $180^\circ$ para dar algo parecido al original.

Bueno, pues También puedes cambiar las variables para obtener buenas estimaciones sobre cuándo $y$ va a $\infty.$ Somos libres de movernos a la derecha o a la izquierda, todas las curvas de solución son trasversales entre sí. Al considerar $y > 0,$ somos libres de exigir $y(0) = 1.$ A continuación, tome $$ y = \tan w, $$ así que $w(0) = \pi/4$ y $$ y' = \sec^2 w \; w' $$ Desde $y' = y + y^4, $ Tengo $$ w' = \cos w \sin w + \frac{\sin^4 w}{\cos^2 w}. $$ Para $w$ entre $\pi/4$ y $\pi/2,$ sabemos $\sin w \geq 1$ mientras que $\cos w \leq 1.$ Así que, como primer intento, $w' > 1,$ por lo que sabemos que $w = \pi/2$ se produce con $x < \pi/2 - \pi / 4 = \pi / 4.$ Se puede obtener una precisión mucho mayor, basta con resolver la EDO numérica para $w$ con $w(0) = \pi/4,$ encontrar cuando $w = \pi/2.$ De hecho, como esto es resoluble en forma cerrada, encontramos $y(0) = 1$ significa $y$ llega al infinito, es decir, a la asíntota vertical, en $$ x = \frac{1}{3} \log 2 \approx 0.231049 $$

Answer 2

En realidad, hay toda una familia de soluciones de esta ecuación que están definidas en toda la recta real. Fíjate bien en la propia ecuación $$\frac{dy}{dx} = y + y^4$$ y escribirlo en la forma $$\frac{dy}{dx} = y(1 + y^3)$$ Como la ecuación es localmente Lipschitz en todas partes, porque es polinómica, localmente en todas partes existe una solución única para ella y por lo tanto dos soluciones no pueden cruzarse. Ahora, observa que las funciones constantes $y(x) \equiv 0$ y $y(x) \equiv -1$ son en realidad las soluciones únicas a los problemas de valor inicial
\begin{align} \frac{dy}{dx} &= y + y^4\\ y(0) &= 0 \end{align} y \begin{align} \frac{dy}{dx} &= y + y^4\\ y(0) &= -1 \end{align} respectivamente. Como dos soluciones diferentes de las ecuaciones no pueden cruzarse a menos que coincidan en todas partes, cualquier solución que satisfaga el problema de valor inicial \begin{align} \frac{dy}{dx} &= y + y^4\\ y(x_0) &= -y_0 \end{align} para $(x_0, y_0) \in \mathbb{R} \times [-1, 0]$ quedarán atrapados en la región $\mathbb{R} \times [-1, 0]$ para todos $x$ de su intervalo máximo de definición y, por tanto, ese intervalo máximo es todo el $\mathbb{R}$ .

En conclusión, todas las soluciones $y=y(x)$ de la ecuación diferencial $$\frac{dy}{dx} = x + x^4$$ tal que $-1 \leq y(x_0) \leq 0$ para algunos $x_0 \in \mathbb{R}$ se definen como funciones diferenciables $y : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con la propiedad de que $-1 \leq y(x) \leq 0$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .

Answer 3

Se trata de una ecuación de Bernoulli, por lo que puede resolverse directamente. Fijando $u(x)=y(x)^{-3}+1$ resulta en la ecuación $$ u'(x)=-3y(x)^{-4}y'(x)=-3u(x)\implies u(x)=u(x_0)e^{-3(x-x_0)} $$ para que $$ y(x)=\frac{y(0)e^{x-x_0}}{\sqrt[3]{1+y_0^3(1-e^{3(x-x_0)})}} $$ donde la raíz cúbica se extiende como función impar a los valores negativos.

La solución tiene una singularidad en tiempo finito si el denominador tiene una raíz, que es el caso si $1+y_0^{-3}>0$ Es decir, $y_0>0$ o $y_0<-1$ .