Mostrando que $\lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]}|f-f_n|=0$ donde $f_n(x)=f(x-1/n)$

Question

Estoy tratando de abordar la siguiente pregunta, pero en realidad yo no sé cómo empezar...

Deje $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ pueden medir en función del período de $1$$\displaystyle \int_{0}^{1}|f|<\infty$.

Definir $\displaystyle f_n(x)=f\left(x-\frac{1}{n}\right)$. Mostrar que $$\lim_{n\to\infty}\int\limits_{[0,1]}|f-f_n|=0$$

He tratado de usar la periodicidad de las $f$ y manipular $f_n(x)$, pero fue en vano.

Por favor ayuda, gracias!

Answer 1

Deje $L^1(T)$ denotar el espacio de $1$-periódico de funciones medibles $f$ tal que $\int_0^1 \lvert f\rvert < \infty$. Trigonométricas polinomios de la forma $\sum\limits_{\lvert k \rvert \le N} c_k e^{2\pi i kx}$ son densos en $L^1(T)$, por lo que primero probar el resultado al $f$ es un trigonométricas polinomio, entonces la densidad de uso.

Si $f(x) = \sum\limits_{\lvert k \rvert \le N} c_k e^{2\pi i kx}$, luego

$$f(x) - f\left(x - \frac1n\right) = \sum_{\lvert k\rvert \le N} c_ke^{2\pi ix}\left(1 - e^{-2\pi i/n}\right)\tag{*}$$

Utilizando el hecho de que $\lvert 1 - e^{i\theta}\rvert \le \lvert \theta\rvert$ todos los $\theta \in \Bbb R$,$\lvert 1 - e^{2\pi i /n}\rvert \le 1/n$. De modo que la suma en (*) está delimitado por $C/n$ donde $C = \sum\limits_{\lvert k \rvert \le N} \lvert c_k\rvert$. Por lo tanto $\|f - f_n\|_{L^1(T)} \le C/n\to 0$$n\to \infty$, y el resultado se da al $f$ es un trigonométricas polinomio.

Ahora vamos a $f\in L^1(T)$$\epsilon > 0$. Hay trigonométricas polinomio $g$ tal que $\|f - g\|_{L^1(T)} < \epsilon/3$. Por la periodicidad de las $f$ y $g$, $\|f_n - g_n\|_{L^1(T)} = \|f - g\|_{L^1(T)}$. De hecho,

\begin{align}\|f_n - g_n\|_{L^1(T)} &= \int_0^1 \lvert f_n(x) - g_n(x)\rvert\, dx = \int_{-1/n}^{1 - 1/n} \lvert f(x) - g(x)\rvert\, dx\\ &=\int_{-1/n}^0 \lvert f(x) - g(x)\rvert\, dx + \int_0^{1-1/n} \lvert f(x) - g(x)\rvert\, dx\\ &=\int_{1-1/n}^1 \lvert f(x) - g(x)\rvert\, dx + \int_0^{1-1/n} \lvert f(x) - g(x)\rvert\, dx\\ &=\|f-g\|_{L^1(T)}\end{align}

donde periodicidad fue utilizado en la primera integral en la segunda hasta la última línea. Deje $n_0$ ser un entero positivo tal que $\|g - g_n\|_{L^1(T)} < \epsilon/3$ siempre $n > n_0$. Para todos los $n > n_0$, \begin{align}\|f - f_n\|_{L^1(T)} &\le \|f - g\|_{L^1(T)} + \|g - g_n\|_{L^1(T)} + \|g_n - f_n\|_{L^1(T)}\\ & = 2\|f - g\|_{L^1(T)} + \|g - g_n\|_{L^1(T)} \\ &< 2\cdot \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon\end{align}

Desde $\epsilon$ fue arbitraria, el resultado de la siguiente manera.