Aquí está mi (obviamente errónea) la prueba de que $1=e^{-2 \pi}$: $$ 1^i=1\\ e^{2 \pi i} = 1\\ \left(e^{2\pi i}\right)^i = 1^i\\ e^{-2 \pi} = 1 $$
¿Cuál es el problema? Entiendo que la exponenciación no es inyectiva (y por lo tanto $-1 \neq 1$ aunque $(-1)^2 = 1^2$), pero no creo que el tema aquí: sólo estoy subiendo cosas a la potencia de $i$, lo que no creo es multi-valuadas.
En los números complejos, $x^y$ es una función de varios valores, o usted tiene que renunciar a la idea de que $(x^y)^z = x^{yz}$.
Si permites $x^y$ a de ser multi-valorados, entonces uno de los valores de $1^i$$e^{-2\pi}$.
Si $x^y$ no es multivalor, entonces usted tiene que elegir a un solo valor de $\log 1$ definir $1^y$. Solemos recoger $\log 1 = 0$, por alguna razón. :)
El multivalor la naturaleza tiene sentido cuando se considera que $\sqrt{1}=1^{1/2}$ puede ser considerado como que tiene dos valores, $-1$$1$. En general, sin embargo, cuando se $y$ es irracional, consigue $1^y$ (o más generalmente, $x^y$) puede tomar una infinidad de valores.
El único momento en el $x^y$ es, naturalmente, de un solo valor es al $y$ es un número entero.
La ley de los exponentes $x^{ab} = (x^a)^b$ no posee en general.
Crianza de los números complejos a los poderes de varios valores.
Por ejemplo, $1^i = e^{\log(1^i)} = e^{i (\ln(1)+2\pi k i)} = e^{i(2\pi k i)} = e^{-2\pi k}$ para cualquier entero $k$. La elección de $k=-1$ coincide con su mano izquierda, $k=0$ partidos de la derecha.
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