Existencia de la no-constante de funciones continuas con una infinidad de ceros

Question

Posibles Duplicados:
Un trivial en todas partes función continua con una cantidad no numerable de raíces?

¿Existe un continuo que no sea constante con un valor real de la función en $[a,b]$ que tiene una infinidad de ceros? Si existe, por favor, dame un ejemplo.

Answer 1

De hecho, cada subconjunto cerrado de $\mathbb R$ es el ajuste a cero de una función suave:

En primer lugar, supongamos que tenemos un intervalo abierto $I = (a,b) \subset \mathbb R$. Vamos a construir una función suave $f: \mathbb R\to [0,1]$ satisfacción $f(x)>0 \iff x \in I$.

Entonces, si se nos da un conjunto cerrado $K \subset \mathbb R$, el complemento de a $U = \mathbb R\setminus K$ puede ser escrito como la desunión de la unión de countably muchas intervalos de $I_n$$n\in \mathbb N$, es decir,

$$ U = \bigcup_{n=1}^\infty I_n, \quad \text{with } \; I_n \cap I_m = \varnothing \; \text{ for $m\ne n$}$$

Suponiendo que la primera parte, podemos encontrar las funciones lisas $f_n: \mathbb R\to [0,1]$ tal que $f_n(x) > 0$ si y sólo si $x \in I_n$. Ahora definir

$$g(x) := \sum_{n=1}^\infty f_n(x)$$

A continuación, $g$ está bien definido y suave, porque para cualquier punto de $x\in \mathbb R$ hay un barrio $V$ tales que sólo un número finito de $f_n$ son cero en $V$ (de hecho, podemos optar $V$ suficientemente pequeño tal que la intersección de dos intervalos de $I_m$ $I_n$ a lo sumo).

Vamos a demostrar la primera afirmación: Así, se nos da $I=(a,b)\subset \mathbb R$ y se desea construir $f: \mathbb R\to [0,1]$ tal que $f(x) >0\iff x \in I$.

En primer lugar, vamos a

$$ h(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & x>0 \\ 0 & x\le 0\end{cases}$$

Creo que esto es un ejercicio estándar en el Análisis para demostrar que el $h$ es suave, así que no me molesto en hacer esto aquí. Ahora definir

$$f(x) = h(x-a)h(b-x)$$

Esta función es suave y mapas en $[0,1]$ ($h\le 1$). Además $$f(x) \ne 0 \iff x-a >0 \text{ and } b-x>0 \iff a < x < b$$

Esto concluye nuestra observación.

Answer 2

Usted puede tomar $$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} (x-a)\sin\left(\frac{1}{x-a}\right)&\text{if }x\neq a\\ 0 &\text{if }x=a. \end{array}\right.$$

Usted puede incluso hacer es diferenciable en a $[a,b]$ mediante la sustitución de la $(x-a)$ factor de con $(x-a)^2$. Esta función no es constante en cualquier subinterval.

Answer 3

Es bien sabido que, con una probabilidad de $1$, el ajuste a cero de movimiento Browniano es un innumerable conjunto cerrado sin puntos aislados.

Answer 4

Y si quieres un $C^\infty$-función, ¿qué $f(x)=0$ si $x\le(a+b)/2$$f(x)=e^{-1/(a+b-2x)^2}$, siempre que $x>(a+b)/2$.

Answer 5

Tales funciones no existe no sólo para el intervalo de $[a,b]$, pero para inifinite general de espacios métricos.

Deje $(X,\rho)$ ser algunos infinito espacio métrico. Para cada una de las $A\subset X$ definimos la distancia de $x$ $A$igualdad $\rho(x,A)=\inf\{\rho(x,y):y\in A\}$. Ya que para todas las $x_1,x_2\in X$ tenemos $|\rho(x_1,A)-\rho(x_2,A)|\leq\rho(x_1, x_2)$, podemos ver que $\rho(\cdot,A):X\to\mathbb{R}_{+}$ es uniformemente continua. Obviamente $x\in\overline{A}$ fib $\rho(x,\overline{A})=0$.

Deje $Y$ ser a puerta cerrada infinito subconjunto de $X$. Puesto que Y es cerrado, a continuación, el ajuste a cero de $\rho(\cdot,Y)$$Y$. Así se construyó una manera uniforme continua con la función de ajuste a cero igual a conjunto infinito $Y$.