¿Cómo se puede demostrar la siguiente igualdad (fijo entero positivo $a$):
$$12\sum_{k=1}^{an^2-1}k\left\{\frac{k(an-1)}{an^2}\right\}=3a^2n^4-a^2n^2-2$$
donde $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ denota la parte fraccionaria del operador.
Respuestas
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El Dedekind suma $s(t,u)$ puede ser definido por $$s(t,u)=\sum_{k=1}^{u-1}{k\over u}\left(\left\{{kt\over u}\right\}-{1\over2}\right)$$ for relatively prime integers $t,u$, where $\{x\}$ denotes the fractional part of $x$. We have $$s(t,u)=-{1\over2u}\sum k+{1\over u}\sum k\left\{{kt\over u}\right\}$$ so if we can evaluate $s(an-1,an^2)$ then we can evaluate $\displaystyle\sum_1^{u-1}k\left\{{(an-1)k\a través de una^2}\right\}$
El Dedekind suma satisface estas fórmulas (y muchos más):
$s(t,u)=s(t',u)$ si $t\equiv t'\pmod u$
$\displaystyle s(1,u)=-{1\over4}+{1\over6u}+{u\over12}$
$s(-t,u)=-s(t,u)$
$\displaystyle s(t,u)+s(u,t)=-{1\over4}+{1\over12}\left({t\over u}+{1\over tu}+{u\over t}\right)$
El último de ellos es el llamado de la reciprocidad fórmula para el Dedekind suma, y es mucho más difícil de establecer que los demás.
La reciprocidad nos permite expresar $s(an-1,an^2)$ en términos de $s(an^2,an-1)$.
A continuación, la primera fórmula implica $s(an^2,an-1)=s(n,an-1)$.
A continuación, la reciprocidad nos da $s(n,an-1)$ en términos de $s(an-1,n)$.
Luego de la 1er y 3er fórmulas que $s(an-1,n)=s(-1,n)=-s(1,n)$, y la 2ª fórmula completa la evaluación.
Marc Chamberland
Puntos
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Voy a hacer una respuesta sólo porque quiero incluir el código del programa, por favor, no downvote. la aproximación es buena, pero no es exacto. En cuanto a cómo demostrarlo, no tengo idea.
para n = 10, el LHS es 1069916.8199999994 y RHS es 1076398 para n = 1000, LHS = 107999963999968.27 y RHS = 107999963999968
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In [5]: math.modf(4.5)
Out[5]: (0.5, 4.0)
In [6]: foo = lambda k,n : k*math.modf(1.0*k*(6*n-1) / (6*n**2))[0]
In [9]: bar = lambda n : 12*sum( [foo(k,n) for k in xrange(1,6*n**2)])
In [10]: bar(10)
Out[10]: 1076397.9999999993
In [11]: 1080000 - 3600 -2
Out[11]: 1076398
In [12]: g = lambda n : 108*n**4 - 36*n**2 - 2
In [13]: g(10)
Out[13]: 1076398
In [14]: bar(1000)
Out[14]: 107999963999968.27
In [15]: g(1000)
Out[15]: 107999963999998
