50 votos

¿Por qué es $\pi$ irracional si se representa como $C/D$ ?

$\pi$ puede representarse como $C/D$ y $C/D$ es una fracción, y la definición de un número irracional es que no se puede representar como una fracción.

Entonces, ¿por qué $\pi$ ¿un número irracional?

23 votos

Porque $C$ y $D$ no pueden ser enteros al mismo tiempo.

6 votos

@Sam, siguiendo tu idea, todo número real sería un número racional, ya que $x=x/1$ siempre es cierto.

32 votos

No veo por qué se vota tan a la baja; se trata de un auténtico malentendido/confusión que he visto expresar sinceramente a algunos estudiantes.

49voto

Mike Powell Puntos 2913

Un número racional es un número que se puede expresar como $p/q$ , donde $p$ y $q$ son enteros . El número $\pi$ no puede expresarse de esta forma, por lo que es irracional.

En otras palabras, la definición de "fracción" no incluye relaciones como "circunferencia/diámetro" en las que el numerador y el denominador son números arbitrarios, no necesariamente enteros. En el caso de "circunferencia/diámetro" (que usted ha denominado $\pi = C/D$ ), siempre ocurrirá que si el diámetro es un número entero, la circunferencia ( $C = \pi D$ ) no es un número entero, y si la circunferencia es un número entero, el diámetro ( $D = C/\pi$ ) no es un número entero: precisamente porque $\pi$ es irracional.

Nótese que una definición de "fracción" que permitiera números reales arbitrarios como numerador y denominador no sería muy útil, ya que permitiría "fracciones" como $\pi = \pi / 1$ o, de hecho, para cualquier número $x$ la representación de $x$ como una "fracción" $x = x/1$ .

27 votos

Gracias. Tengo doce años y esta pregunta me ha estado molestando desde que terminó la escuela en junio.

1 votos

@ShreevatsaR ¡Excelente respuesta! Sería más impresionante si añadieras una prueba de por qué $\pi$ es irracional. es.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

2 votos

@Sam las matemáticas nunca se acaban en MSE. :-)

10voto

FuzzyQ Puntos 200

Un número se llama racional cuando se puede representar como $m/n$ , donde $m$ y $n$ son ambos enteros .

Los números irracionales son los que no son racionales, es decir, no pueden representarse como una fracción $m/n$ donde $m$ y $n$ son ambos enteros. Es posible demostrar que $\pi$ es irracional.

Si definimos los números racionales como números que se pueden representar como $C/D$ , donde $C$ y $D$ puede ser cualquier número real, entonces todo número sería racional: $X = X/1$ por cada $X$ .

0 votos

Exactamente lo que escribí arriba.

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