¿Cuál es la idea detrás de las poleas de los anillos en distinguidos abrir conjuntos de

Question

En el libro sobre la geometría algebraica de Mumford (que se puede encontrar aquí), dijo :

Queremos ampliar el anillo de $R$ en un todo a las poleas de los anillos en $SpecR$, escrito $\mathcal{O}_{SpecR}=\mathcal{O}_{X}$.

Así que él necesita para definir $\mathcal{O}_{X}(U)$ $U$ es un conjunto abierto en $X$, en particular, tenía necesidad de definir $\mathcal{O}_{X}(X_f)$ para algunos distinguidos abrir subconjunto $X_f$. Y él dijo:

Queremos definir : $\mathcal{O}_{X}(X_f)=R_f$=localización del anillo de $R$ w.r.t multiplicativo de sistema de $\lbrace 1,f,f^2,..\rbrace$

Mi pregunta es : ¿por Qué nos quieren para definir la gavilla $\mathcal{O}_{X}(X_f)$$R_f$ ?

De vuelta al caso de la variedad afín $V$, $V\setminus V(f)$ es un cuasi-variedad afín con el anillo de regular la función $k[V]_f$. Así que podemos pensar acerca de las secciones de $\mathcal{O}_{X}(X_f)$ como función regular en algunos espacios ?

Answer 1

Para agregar un poco a Martin ya excelente respuesta.

Filosóficamente, nos gusta la idea siguiente: dado un espacio de $X$, podemos aprender mucho de $X$ por un anillo de funciones en este espacio. Sin embargo, todo el anillo se pierde un montón de información. En lugar de eso, le permite recordar lo que sucede localmente: así que tenemos un montón de funciones en un espacio.

Ahora se le da un anillo de $R$, podemos hacer las matemáticas-y de la cosa y la inversa de la anterior construcción. Queremos un espacio de $X$ que $R$ es el anillo de funciones. Queremos que sea como natural una construcción como sea posible. Grothendieck la visión era que el "conjunto de primer ideales" formas un buen "conjunto de puntos de un espacio de" hacer geometría. De nuevo, aunque, si sólo recordamos el mundial de información, perdemos una gran cantidad de información que es intrínsecamente.

Así que el trabajo con $Spec(R)$ y el anillo de las funciones de $R$ le da motivación natural no sólo para el estudio de un anillo, pero todos sus coeficientes (de las funciones de conjuntos cerrados) y todas sus localizaciones (funciones en bloques abiertos) a la vez.

Por qué la localización? Realmente depende de lo que la localización que hace a la conducta en virtud de la localización de la red de primer ideales. Piense primero en el proceso de pasar de $R$ $R/I$por algún ideal $I$. ¿Cuáles son los principales ideales en $R/I$ - son los prime ideales de $R$ contiene $I$. Contiene un primer ideal es lo que nos llevan a ser "desaparecer en ese momento". Esta es la idea clave: la propiedad de contener un primer ideal es el derecho de sustitución de fuga en la configuración clásica.

Es una buena idea tomar una buena mirada en el Nullstellensatz, y el extracto de la declaración anterior en la configuración clásica.

Ahora, ¿por qué la localización? En una manera similar a la discusión anterior, el primer ideales que sobrevivir de localización son los que no cruzan el set que se están invirtiendo. Si quieres pensar en una sola función de $f$, entonces la localización en $f$ conseguir $R_f$ esto nos indica que el primer ideales de la localización (más precisamente, corresponden a) aquellas en $R$ que no contengan $f$: es decir, el conjunto de puntos donde $f$ no se desvanecen.

Uno debe escribir y perseguir los diagramas apropiados para asegurarse de que la "correspondencia entre el primer ideales" para los dos casos que he mencionado anteriormente son functorial, que se comportan bien con morfismos, pero eso es la intuición.

Answer 2

Usted puede pensar de $X_f$ como el conjunto de los puntos donde se $f$ no desaparece (esto es verdad literal en el caso de las clásicas variedades, pero también para los esquemas al uso de la estructura de la gavilla y pensar de $f$ como una función valorada en el residuo de campos). Por lo tanto $f$ debe ser invertible en a $X_f$, y por lo tanto $r/f^k$ debe ser una función regular en $X_f$, para cada función regular $r$$X$. No hay ninguna razón para imponer más funciones regulares. Así que acabamos de definir $\mathcal{O}(X_f) := R_f$.

En el final, es sólo una definición, y cuando se trabaja con usted verá que es la derecha. Ya hemos mencionado que esto encaja perfectamente para el caso de las clásicas variedades.