Divisores de secuencia $1!+2!+\ldots+n!$

Question

Es el conjunto de números primos que dividen al menos un número en la secuencia $a_n=1!+2!+\ldots+n!$ finito o infinito?

Trato de mostrar que es infinita. Supongamos que el conjunto es finito y se compone de $p_1<p_2<\ldots<p_k$. Considere la posibilidad de $n>p_k$. Tenemos $a_n=1!+2!+\ldots+p_k!+(p_k+1)!\ldots+n!$. Los términos de $(p_k+1)!$ en adelante son divisibles por $p_1,p_2,\ldots,p_k$. El problema es que no tenemos control sobre el poder de la $p_i$ que divide $1!+2!+\ldots+p_k!$$(p_k+1)!\ldots+n!$.

Answer 1

Esta secuencia se obtiene una mención en el Tipo de Problemas sin resolver en la Teoría de los números (3 ª edición, 2004); denotado $K_n$ a continuación:

Así que sospecho que usted podría no obtener una respuesta concluyente. Me imagino que es infinita.

He aquí una tabla para valores pequeños:

$$\begin{array}{|r|r|} \hline n & \text{prime factorization of } a_n \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 3 & 3 \cdot 3 \\ 4 & 3 \cdot 11 \\ 5 & 3 \cdot 3 \cdot 17 \\ 6 & 3 \cdot 3 \cdot 97 \\ 7 & 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 73 \\ 8 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 467 \\ 9 & 3 \cdot 3 \cdot 131 \cdot 347 \\ 10 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 40787 \\ 11 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 443987 \\ 12 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 23 \cdot 20879 \\ 13 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 821 \cdot 83047 \\ 14 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 2789 \cdot 340183 \\ 15 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 107 \cdot 509 \cdot 259949 \\ 16 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 225498914387 \\ 17 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 163 \cdot 20143 \cdot 1162943 \\ 18 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 19727 \cdot 3471827581 \\ 19 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 29 \cdot 43 \cdot 1621 \cdot 641751001 \\ 20 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 53 \cdot 67 \cdot 662348503367 \\ 21 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 877 \cdot 3203 \cdot 41051 \cdot 4699727 \\ 22 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11895484822660898387 \\ 23 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 139 \cdot 2129333 \cdot 922459185301 \\ 24 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 37 \cdot 37 \cdot 29131483 \cdot 163992440081 \\ 25 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 454823 \cdot 519472957 \cdot 690821017 \\ 26 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 107 \cdot 173 \cdot 7823 \cdot 12227 \cdot 1281439 \cdot 1867343 \\ 27 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 431363 \cdot 2882477797 \cdot 91865833117 \\ 28 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 191 \cdot 47793258077 \cdot 349882390108241 \\ 29 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 37 \cdot 283 \cdot 5087 \cdot 1736655143086866180331 \\ 30 & 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 2771826449193354891007108898387 \\ \hline \end{array}$$

Incluso se podría sospechar que $a_n$ $99$ veces un primer infinitamente a menudo (ver Sloane del http://oeis.org/A122990).