El límite de puntos de $\{\sin (n+n^2)\mid n\in\mathbb N\}$

Question

Podemos comprobar que la $\exists \{c_i\}_{i=1}^{\infty} \subseteq \mathbb N$ $c_1<c_2<c_3<...$ tal que $\lim_{i\rightarrow \infty}\sin (c_i^{\alpha})=c$, $\forall c\in [-1,1]$,donde $\alpha$ es un número racional positivo.

Pero, ¿y el límite de puntos de { $\sin(n+n^2)\mid n\in N\}$? También es el intervalo cerrado $[-1,1]$?

Además, ¿qué acerca de la $\sin \bigg(\sum_{i=1}^ma_in^{i}\bigg)$, donde todos los coeficientes $a_i$ son números racionales?

Answer 1

Después de ser sorprendido por esta pregunta para la mayoría de los días he recibido un aviso de que esto puede ser demostrado por el uso de van der Corput del teorema (que yo nunca he oído hablar antes), es evidente que las obras de la $n^2+n$, pero también debe funcionar para todos los polinomios con coeficientes racionales* según mi fuente (supongo que es hecho por aplicaciones consecutivas).

• Como cuestión de hecho, no es necesario para los coeficientes a ser racional, una condición suficiente es que al menos uno de los coeficientes no es un $q\pi$ para algunos racional $q$.