Sobre los números racionales,no está bien definida de producto $$\text{CH}^p(X) \otimes \text{CH}^q(X) \to \text{CH}^{p+q}(X), A \otimes B \mapsto A\cdot B$$ A una expresión algebraica ciclo de $Z$ uno puede asociar su estructura gavilla $\mathcal{O}_Z$. Para que el mapa para el factor a través de $\text{CH}$ probablemente uno tiene que considerar algunos de equivalencia de la relación en sheafs, demasiado. Me preguntaba si se podría relacionar $\mathcal{O}_{A\cdot B}$ (derivados?) producto tensor de la estructura sheafs $\mathcal{O}_A,\mathcal{O}_{B }$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$\def\cO{\mathcal{O}}$, Literalmente hablando, $\cO_{A \cdot B}$ no tiene sentido, porque $A \cdot B$ es una clase de equivalencia de ciclos modulo racional de equivalencia. Sin embargo, voy a tomar tu pregunta para estar preguntándose: "¿puedo realizar algunas natural de la computación en $\cO_A$ $\cO_B$ que me permite encontrar $A \cdot B$". La respuesta es sí.
A lo largo de la respuesta, voy a tomar el espacio ambiente $X$ dentro de la cual se $A$ $B$ viven a ser suave.
Primero de todo, un recordatorio de cómo activar gavillas en Chow clases. Deje $\mathcal{E}$ ser coherente gavilla en $X$, apoyado en $\bigcup_{i=1}^r Z_i$. Aquí el $Z_i$ son irreducibles de subvariedades de $X$. Deje $k(Z_i)$ el valor de la fracción de campo de $Z_i$, lo $\mathrm{Spec}\ k(Z_i)$ es el genérico punto de $Z_i$. Deje $d = \max_i(\dim Z_i)$. A continuación, definimos una clase $[\mathcal{E}]$ $CH_d(X)$ por $$\sum_{\dim Z_i = d} \left( \dim_{k(Z_i)} \mathcal{E}_{\mathrm{Spec}\ k(Z_i)} \right) \cdot [Z_i].$$
En muchos casos, tenemos $[\cO_A] \cdot [\cO_B] = [\cO_{A \cap B}]$. Me refiero aquí al esquema de la teoría de la intersección: $\cO_{A \cap B} = \cO_A \otimes \cO_B$. ¿Hace muchos casos significa?
(1) Siempre que la intersección $A \cap B$ es reducido y de espera dimensión. Este es, por supuesto, es la motivación para llamar el producto en Chow "intersección de producto".
(2) de manera Más general, si $A \cap B$ es de esperarse dimensión y bien $A$ o $B$ es una hipersuperficie.
(3) de forma Más general, si $A \cap B$ es de esperarse dimensión y $A$ $B$ son tanto de Cohen-Macaulay.
El ejemplo más sencillo de demostrar que $[\cO_A] \cdot [\cO_B]$ no está representadas por $\cO_{A \cap B}$ es la siguiente: En $\mathbb{P}^4$, con coordenadas homogéneas $(v:w:x:y:z)$, vamos a $A$ $\mathbb{P}^2$ dadas por las ecuaciones $\{ u=v,\ w=x \}$. Deje $B_1$ $\mathbb{P}^2$ $\{ u=w=0 \}$ y deje $B_2$$\mathbb{P}^2$$\{ v=x=0 \}$. Deje $B$ ser la reducción de la unión de $B_1 \cup B_2$.
Claramente, $A \cap B_1$ $A \cap B_2$ son cada uno de los puntos de reducción. Así, en Chow, tenemos $[A] \cdot [B] = 2 \cdot [\mathrm{pt}]$. Sin embargo, si usted trabaja directamente, verás que la longitud de $\cO_A \otimes \cO_B$$3$, no $2$.
Si $A \cap B$ ha esperado dimensión, la versión corregida es dada por Serre Tor de la fórmula. $$[\cO_A] \cdot [\cO_B] = \sum_{r} (-1)^r [\mathcal{T}or_r^X(\cO_A, \cO_B)].$$ Para una buena discusión de Serre de la fórmula en la derivada de la geometría algebraica, ver este MO hilo.
Si $A \cap B$ no tiene previsto dimensión, entonces usted necesita para utilizar $K$-teoría (sólo $K_0$) o algo más sofisticado. Ver este MO hilo y la primera Sección de este documento de Brion para una buena introducción. Para enfatizar lo que está escrito allí, en el fin de activar $K_0$ clases (o de los elementos de la derivada de la categoría) en Chow clases, uno necesita tomar el asociado gradual anillo de un filtro de anillo, o aplicar la Chern mapa de caracteres. $[A] \cdot [B]$ es la imagen de la derivada del tensor de producto cuando se aplican esas construcciones.
$K_0$ es el de-categorification de la derivada de la categoría coherente de las poleas, de modo que todo lo que está escrito aquí podría ser descrito en la que se derivan del lenguaje. (Para ser precisos, a una compleja $\mathcal{E}^0 \to \mathcal{E}^1 \to \cdots \to \mathcal{E}^r$ en los derivados de la categoría, asignar la clase$\sum (-1)^i [\mathcal{E}^i]$$K_0$.) Sin embargo, no creo que en realidad estamos usando la derivada de la categoría en cualquier manera profunda aquí.
