He leído que al pegar dos bandas de Möbius por sus bordes se crea una superficie equivalente a la llamada botella de Klein.
La banda de Möbius se presenta en dos versiones que son versiones reflejadas la una de la otra (respecto a la quiralidad de la media vuelta en la banda).
Entonces, al pegar dos de ellas, ¿importa que sean versiones reflejadas la una de la otra o no? ¿Hay un resultado diferente?
He añadido una imagen con la misma idea en la que se puede ver claramente que las dos versiones son versiones reflejadas la una de la otra. Fuente: ifp.illinois.edu/~sdickson/Klein/Klein.html
Sólo están en dos versiones si se considera que la banda de Mobius es un objeto incrustado en un espacio ambiental tridimensional. Esto se vuelve bastante discutible cuando se considera que la botella de Klein no puede estar incrustada en $3$ -por lo que solemos considerar la banda de Mobius y la botella de Klein como espacios topológicos, en cuyo caso no vienen con "quiralidades" ni orientaciones en este caso porque son no orientables.
Para decirlo en pocas palabras: Todas las bandas de Mobius son homeomórficas.
Su respuesta es útil. La botella de Klein puede estar incrustada en el espacio 3 con una intersección, ¿hay alguna diferencia?
Claro, eso se llama una inmersión (se permite la auto intersección, pero sólo "en un ángulo"). Creo que en este caso, las dos mitades de la botella de Klein serían un par quiral de bandas de Mobius, aunque no estoy totalmente seguro/tendría que comprobarlo. Aunque pensándolo bien, las bandas en sí no estarían incrustadas sino, de nuevo, sólo inmersas, así que ¿cómo se define la quiralidad en este caso?
El papel Sobre el número de tipos de botellas Klein de Carlo H. Séquin (Journal of Mathematics and the Arts, volumen 7, número 2, 2013) ofrece algunas respuestas a las cuestiones anteriores. Es disponible en línea .
En resumen: las bandas de Mobius vienen definitivamente con dos manejos diferentes, y dependiendo de cómo las combines, puedes obtener diferentes tipos de botellas Klein.
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Recuerdo que cuando tuve este problema la respuesta fue mirar la clasificación de las superficies no orientables.