Casi estructuras complejas en las esferas

Question

Es bastante conocido que la única esferas en que se admite casi estructuras complejas se $S^2$$S^6$. Mediante la incorporación de $S^6$ en el imaginario octonions, obtenemos un no-integrable casi compleja estructura en $S^6$.

Mediante la incorporación de $S^2$ en el imaginario cuaterniones, obtenemos casi una compleja estructura en $S^2$? Si es así, es la inducida por la compleja estructura correspondiente a $\mathbb{CP}^1$?

Answer 1

El punto es que $V = \mathbb{R}^3 = \operatorname{Im}\mathbb{H}$ $V = \mathbb{R}^7 = \operatorname{Im}\mathbb{O}$ heredar un producto cruzado $V \times V \to V$ de cuaterniones y octonion la multiplicación. Es dado por $u \times v = \operatorname{Im}(uv) = \frac{1}{2}(uv - vu)$.

Dada una orientada a la hipersuperficie $\Sigma \subset V$, con su correspondiente mapa de Gauss $\nu \colon \Sigma \to S^n$ ($n \in 2,6$) el envío de un punto de $x \in \Sigma$ para el exterior de la unidad normal de $\nu(x) \perp T_x\Sigma$ se obtiene casi una compleja estructura mediante el establecimiento $$J_x(u) = \nu(x) \times u\qquad\text{for }u \in T_x\Sigma.$$

Una forma económica para ver que esto es casi una estructura compleja: El producto cruzado es bilineal y antisimétrica. Está relacionado con el estándar del producto escalar a través de $$ \langle u \times v, w\rangle = \langle u, v \times w\rangle $$ (lo que muestra que el $u\times v$ es ortogonal tanto a $u$$v$) y la Graßmann identidad $u \times (v \times w) = \langle u,w\rangle v - \langle u,v\rangle w$ (válido sólo en la dimensión $3$) tiene la variante $$ (u \times v) \times w + u \times (v\times w) = 2\langle u,w\rangle v-\langle v,w\rangle u - \langle v,u\rangle w $$ válido en $3$ $7$ dimensiones (la cual muestra que el$u \times (u \times v) = -v$$u \perp v$$|u| = 1$).

Por lo tanto,$J_x(u) = \nu(x) \times u$, de hecho, define casi una compleja estructura $J_x \colon T_x\Sigma \to T_x\Sigma$.

Especializada esta a $\Sigma = S^2$ incrustado como unidad de esfera en $\operatorname{Im}\mathbb{H}$ se puede "ver" (o calcular) que $J_x$ actúa exactamente de la misma manera como la multiplicación por $i$$\mathbb{CP}^1$.

Answer 2

Sí, sí y sí.

Llegamos casi de estructura compleja $J$ en las dos esferas $S = \{ ai + bj + ck \mid a^2 + b^2 + c^2 = 1\}$ incrustado en el espacio de lo imaginario cuaterniones exactamente de la misma manera que para el octonions.

Desde $S$ es de dimensión real de dos, todos los casi compleja estructura en $S$ es integrable. A continuación, $X = (S,J)$ es un pequeño complejo de la curva de género 0, y cualquier tipo de curva es isomorfo a $\mathbb{CP}^1$.