¿Una función continua que es uniformemente continua en dos conjuntos, pero no uniformemente continua en la unión de estos dos conjuntos?

Question

Este problema de la tarea me acaba de costar 3 horas... Pero aún no tengo idea de lo que puede ser...

Dejemos que $A, B \subseteq \mathbb{R}$ . Encontrar una función continua $f:A\cup B \to \mathbb{R}$ donde $f$ es uniformemente continua en $A$ y en $B$ pero $f$ no es uniformemente continua en $A\cup B$ .

Answer 1

Sugerencia: tome $A=\mathbb N$ y $B=\{n+\frac{1}{n}\left|\right.n\in\mathbb N,n\geq 2\}$ .

Answer 2

$$f(x)=\cos x^2, A=f^{-1}(1),B=f^{-1}(-1)$$

Answer 3

Sugerencia : la unión de dos conjuntos discretos no tiene por qué ser discreta